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Coordenadas ortogonales

Un sistema de coordenadas ortogonales es un sistema de coordenadas tal que en cada punto los vectores tangentes a las curvas coordenadas son ortogonales entre sí. Este tipo de coordenadas pueden definirse sobre un espacio euclídeo o más generalmente sobre una variedad riemanniana o pseudoriemanniana.

DefiniciónEditar

Dada una variedad de (pseudo)riemanniana  , un conjunto abierto   del mismo y un punto dentro de dicho conjunto abierto  , una carta local o "sistema de coordenadas" local puede representarse por una función:

 

Donde d es la dimensión del espacio donde se define el sistema de coordenadas local. Las d curvas coordenadas Ci(t) y sus vectores tangentes vienen definidas por las ecuaciones:

 

El sistema de coordenadas será ortogonal si los vectores tangentes a las curvas coordenadas xi son ortogonales, es decir, si:

 

Donde g(, ) es el tensor métrico del espacio donde se definen las coordenadas.

PropiedadesEditar

La elección de uno u otro sistema depende de las simetrías del problema geométrico o físico planteado. Al ser todos estos sistemas de coordenas ortogonales en ellos el tensor métrico tiene la forma:

 

Donde las tres componentes no nulas son los llamados factores de escala son funciones de las tres coordenadas.

Operadores vectoriales en coordenadas ortogonalesEditar

Los operadores vectoriales pueden expresarse fácilmente en términos de estas componentes del tensor métrico.

 

 

  • El rotacional viene dado por el desarrollo del siguiente determinante:

 

  • El laplaciano de una magnitud escalar viene dado por:

 

Ejemplos en el espacio euclídeoEditar

En el espacio euclídeo tridimensional se emplean diferentes sistemas de coordenadas, a veces, combinando tipos de coordenadas ortogonales y angulares:

Ejemplos en variedades diferencialesEditar

La coordenadas usadas en la teoría de la relatividad general son el ejemplo físico más conocido de sistemas de coordenadas sobre un espacio globalmente no euclídeo.

En un espacio-tiempo estático siempre es posible escoger alrededor de cualquier punto del espacio-tiempo un sistema de coordenadas ortogonal.[cita requerida]