Criterio del cociente

El criterio del cociente o criterio de d'Alembert se utiliza para determinar la convergencia o divergencia de una serie de términos positivos cualquiera, y por tanto, hacer una clasificación de esta.

Definiendo con a la variable independiente de la sucesión, dicho criterio establece que si llamamos respectivamente y al límite superior e inferior de la sucesión se obtienen cada uno de los siguientes casos:

  • Si converge.
  • Si diverge.
  • Si , el criterio no decide y es necesario calcular el límite de otro modo.

En el caso particular de que dicha sucesión sea convergente tendremos entonces que , siendo el límite de la sucesión, por lo que el estudio se puede simplificar a los siguientes casos:

  • Si converge.
  • Si diverge.
  • Si , el criterio no decide y es necesario calcular el límite de otro modo.

Formalización del métodoEditar

El criterio de D'Alembert se utiliza para clasificar las series numéricas. Podemos enunciarlo de la siguiente manera:

Sea:  

Tal que:

  •   (o sea una sucesión de términos positivos) y
  •   tienda a cero cuando   tiende a infinito (condición necesaria de convergencia)

Se procede de la siguiente manera:

De las dos condiciones anteriores tenemos que la sucesión   está acotada

1) Si además de acotada, dicha sucesión es convergente calculamos:

 

Así obtenemos   y se clasifica de la siguiente manera:

  •   la serie converge
  •   la serie diverge
  •   el criterio no sirve, por lo cual hay que aplicar otro criterio.

2) Si la sucesión   no es convergente, como sucesión acotada que es, tendrá límites superior e inferior finitos.

Ahora bien habrá que calcularlos y proceder a aplicar el criterio más general:

 ,  

Con   y  se clasifica de la siguiente manera:

  • Si  , la serie converge.
  • Si  , la serie diverge.
  • Si  , el criterio no sirve, por lo cual hay que aplicar otro criterio.


EjemploEditar

Sea:  

Clasificar  

a) 

b)   tiende a cero conforme crece   (porque el factorial crece más rápidamente que n+1)


 

y como  , la serie   converge.

Véase tambiénEditar

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