Cuaterniones y rotación en el espacio

Los cuaterniones unitarios proporcionan una notación matemática para representar las orientaciones y las rotaciones de objetos en tres dimensiones. Comparados con los ángulos de Euler, son más simples de componer y evitan el problema del bloqueo del cardán. Comparados con las matrices de rotación, son más eficientes y más estables numéricamente. Los cuarteniones son útiles en aplicaciones de gráficos por computadora, robótica, navegación y mecánica orbital de satélites.

IntroducciónEditar

Se recuerda la versión geométrica del producto de dos cuaterniones,   y  , donde   y   son las partes reales,   y   son las partes imaginarias, también vistas como vectores del espacio tridimensional  :

 

Donde   designa el producto escalar, y  , el producto vectorial. Notaremos   el cuaternión conjugado de  :  .

Para permanecer en el espacio tridimensional, hace falta hacer desaparecer las partes reales. Tomemos  .

Entonces  .

Bien es sabido que el producto vectorial está relacionado con la rotación en el espacio. Por lo tanto, a base de productos, debe ser posible expresar cualquier rotación tridimensional. El objetivo es obtener una fórmula parecida a la expresión compleja de la rotación en el plano:

 , con   cuando se gira alrededor del origen, y   si se rota alrededor del punto  .

Descubriendo la fórmulaEditar

Tomemos el ejemplo más sencillo: ¿Cómo expresar analíticamente la rotación alrededor de eje de los   con un ángulo de 90 grados?

El vector   debe tener un papel. Miremos a la multiplicación por   por la izquierda:   (como  ) e   (como  ).

Parece por lo tanto que la función   es la respuesta a la pregunta. En el plano   esa función rota de 90 grados. ¿Pero qué pasa en el resto del espacio?,   y  . Por linealidad, nos damos cuenta que hace girar el plano   de 90 grados también, y esto ¡no lo queremos! El punto   tiene que permanecer inmóvil, y la función   no tiene que enviar ni un punto del espacio usual   en la cuarta dimensión (aquí, en  ).

Como sabemos que la multiplicación no es conmutativa en  , cuerpo de los cuaterniones, miremos al producto por la derecha, por  :

 .  ;   lo que corresponde a la rotación inversa en el plano  . Pero   y   da la misma rotación parásita que   sobre  . Si tomamos la función opuesta (e inversa):   nos damos cuenta que   tiene la misma acción sobre el plano   que   pero la acción opuesta sobre  . Entonces   y   se compensan en  , pero se acumulan en  , y la función compuesta   deja el plano   quieto, pero gira el plano   dos veces de 90 grados, o sea de 180 grados:

  y  

Hemos obtenido por lo tanto una rotación alrededor de eje  , pero con un ángulo doble de lo deseado. Basta con dividir los ángulos de   y   por dos para obtener la fórmula.

 

El número que corresponde al medio ángulo es

 

y la función que realiza la rotación pedida es  .

Este raciocinio se generaliza a cualquier eje de rotación, y no solo a los tres ejes (O,i) (O, j) y (O, k). Si se quiere girar alrededor del eje (O,u) donde u es un vector unitario, hay que considerar el plano (1, u) y otro plano perpendicular (ortogonal) en  , y emplear el número:

 

La fórmulaEditar

Sea   un punto (o un vector) del espacio, u un vector unitario del mismo espacio y θ un real. La rotación alrededor del eje (0,u) de un ángulo θ envía el punto q sobre el punto   dado por la fórmula:

 , donde  

Para obtener la rotación alrededor de un eje (c,u), donde c es un punto cualquiera del espacio, basta con componer la función anterior por dos translaciones:

 

Note que h es un cuaternión unitario, como en el caso de los complejos.

La fórmula resulta algo más complicada que en el plano complejo porque trabajamos en cuatro dimensiones con los cuaterniones pero queremos permanecer en el espacio usual de tres dimensiones. Una simple multiplicación, a la izquierda o a la derecha, daría dos rotaciones simultáneas en dos planos perpendiculares (ortogonales) en el espacio tetradimensional.

EjemploEditar

Consideremos la rotación alrededor del eje (O, i + j + k), con un ángulo de 120º o sea 2π/3 radianes. Nos proponemos calcular la imagen del vector j. Puesto que el vector i + j + k no es unitario, lo dividiremos por su norma, con lo que obtenemos el siguiente vector unitario:

 

El medio ángulo es π/3, por lo tanto

 

y su conjugado es

 

El vector (o punto correspondiente) j será enviado en hjh~.

 

y, distribuyendo los factores, hallamos:

 

Del mismo modo hallaríamos que hkh~ = i e hih~ = j, lo que da la expresión analítica de la rotación:  

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar