Función de densidad de probabilidad

(Redirigido desde «Densidad de probabilidad»)

En la teoría de la probabilidad, la función de densidad de probabilidad, función de densidad, o simplemente densidad de una variable aleatoria continua describe la probabilidad relativa según la cual dicha variable aleatoria tomará determinado valor.
La probabilidad de que la variable aleatoria caiga en una región específica del espacio de posibilidades estará dada por la integral de la densidad de esta variable entre uno y otro límite de dicha región.
La función de densidad de probabilidad (FDP) es positiva a lo largo de todo su dominio y su integral sobre todo el espacio es de valor unitario.

Diagrama de Caja y función de densidad de probabilidad de una distribución normal N(0, σ2).

EjemploEditar

Supongamos que las bacterias de una determinada especie viven normalmente de 4 a 6 horas. La probabilidad de que una bacteria viva exactamente 5 horas es igual a cero. Muchas bacterias viven aproximadamente 5 horas, pero no hay ninguna probabilidad de que una determinada bacteria muera exactamente a las 5,00... horas. Sin embargo, la probabilidad de que la bacteria muera entre 5 horas y 5,01 horas es cuantificable. Supongamos que la respuesta es 0,02 (es decir, el 2 %). Entonces, la probabilidad de que la bacteria muera entre las 5 horas y las 5,001 horas debe ser de aproximadamente 0,002, ya que este intervalo de tiempo es una décima parte del anterior. La probabilidad de que la bacteria muera entre 5 horas y 5,0001 horas debería ser de aproximadamente 0,0002, y así sucesivamente.

En este ejemplo, la relación (probabilidad de morir durante un intervalo) / (duración del intervalo) es aproximadamente constante, e igual a 2 por hora (o 2 hora-1). Por ejemplo, hay una probabilidad de 0,02 de morir en el intervalo de 0,01 horas entre 5 y 5,01 horas, y (probabilidad de 0,02 / 0,01 horas) = 2 hora-1. Esta cantidad 2 hora-1 se denomina densidad de probabilidad de morir en torno a las 5 horas. Por tanto, la probabilidad de que la bacteria muera a las 5 horas puede escribirse como (2 hora-1) dt. Esta es la probabilidad de que la bacteria muera dentro de una ventana de tiempo infinitesimal en torno a las 5 horas, donde dt es la duración de esta ventana. Por ejemplo, la probabilidad de que viva más de 5 horas, pero menos de (5 horas + 1 nanosegundo), es (2 horas-1) × (1 nanosegundo) ≈ 6 × 10 - 13 (utilizando la conversión de unidades 3,6 × 1012 nanosegundos = 1 hora).

Existe una función de densidad de probabilidad f con f(5 horas) = 2 horas-1. La integral de f sobre cualquier ventana de tiempo (no sólo ventanas infinitesimales sino también ventanas grandes) es la probabilidad de que la bacteria muera en esa ventana.

 
Función de densidad de probabilidad para la distribución normal.

DefiniciónEditar

Una función de densidad de probabilidad caracteriza el comportamiento probable de una población en tanto especifica la posibilidad relativa de que una variable aleatoria continua   tome un valor cercano a  .

Una variable aleatoria   tiene función de densidad  , siendo   una función no-negativa integrable de Lebesgue, si:

 

si   es la función de distribución de  , entonces

 

y (si   es continua en  )

 

Intuitivamente, puede considerarse   como la probabilidad de   de caer en el intervalo infinitesimal  .

Definición formalEditar

La definición formal de la función de densidad requiere de conceptos de la teoría de la medida.

Una variable aleatoria continua   con valores en un espacio medible   (habitualmente   con los conjuntos Borel como subconjuntos medibles), tiene como distribución de probabilidad la medida XP en  : la densidad de   con respecto a la medida de referencia   sobre   es la derivada de Radon–Nikodym.

 

esto es,   es una función medible con la siguiente propiedad:

 

para todo conjunto medible  .

PropiedadesEditar

De las propiedades de la función de densidad se siguen las siguientes propiedades de la fdp (a veces visto como pdf del inglés):

  •   para toda  .
  • El área total encerrada bajo la curva es igual a 1:
 
  • La probabilidad de que   tome un valor en el intervalo   es el área bajo la curva de la función de densidad en ese intervalo o lo que es lo mismo, la integral definida en dicho intervalo. La gráfica f(x) se conoce a veces como curva de densidad.
 

Algunas FDP están declaradas en rangos de   a  , como la de la distribución normal.

Densidades asociadas con múltiples variablesEditar

Para variables aleatorias continuas   es posible definir una función de probabilidad de densidad, esta es llamada función de densidad conjunta. La función de densidad conjunta está definida como una función de   variables, tal que para cualquier dominio   en el espacio  -dimensional de los valores de las variables  , la probabilidad de ocurrencia de un conjunto de variables se encuentre dentro de   es

 

Si   es la función de distribución del vector   entonces la función de densidad conjunta puede obtenerse como una derivada parcial

 

Densidad marginalEditar

Para   sea   la función de densidad asociada con la variable  , esta función es llamada función de densidad marginal y puede ser obtenida a partir de la función de densidad conjunta asociada con las variables   como

 

Suma de variables aleatorias independientesEditar

La función de densidad de la suma de dos variables aleatorias independientes   y  , cada una de ellas con función de densidad, es la convolución de sus funciones de densidades:

 

Es posible generalizar el resultado anterior a la suma de   variables aleatorias independientes con densidades  

 

Enlaces externosEditar

  • [1] Simulación de la obtención de la probabilidad en un intervalo a partir de la función de densidad de una variable continua con R (lenguaje de programación)

Véase tambiénEditar