Derivada de una función en forma paramétrica

Una derivada de una función en forma paramétrica es una derivada en cálculo que se toma cuando ambas variables x e y (tradicionalmente independiente y dependiente, respectivamente) dependen de una tercera variable independiente t, usualmente tomada como «tiempo».

Primera derivadaEditar

Sean   e   las coordenadas de los puntos de una curva expresada como una función de variable t. La primera derivada de las ecuaciones paramétricas descritas arriba es dada por:

 

donde la notación   indica la derivada de x con respecto de t. Para entender el por qué la derivada aparece de esta manera, recuérdese la regla de la cadena para derivadas:

 

o en otras palabras

 

Formalmente, mediante la regla de la cadena;

 

y dividiendo ambos miembros por   se obtiene la ecuación de arriba.

Segunda derivadaEditar

La segunda derivada de una ecuación paramétrica viene dada por

   
 
 
 

mediante el uso de la regla del cociente para derivadas. El último resultado es muy útil en el cálculo de la curvatura.

EjemploEditar

Por ejemplo, considérese el conjunto de funciones donde:

 

y

 

Derivando ambas funciones con respecto a t se obtiene que

 

y

 

respectivamente. Substituyendo estas en la fórmula para la derivada paramétrica, se obtiene

 

donde   y   se entienden como funciones de t.

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  • Britton et al. Matemáticas universitarias, tomo I. CECSA, 1971, impreso en México

Enlaces externosEditar