Función implícita

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Una función se llama implícita cuando está definida mediante una ecuación de la forma

Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región de entre las variables x e y:

Derivación

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Para derivar una función implícita se usa la regla de la cadena; en el caso de la variable independiente, sin dificultad alguna, se deriva directamente; al derivar la variable dependiente se la considera como una función que a su vez depende de la variable independiente:

Dada una función  , implícita, si queremos calcular la derivada de y respecto de x:  .

Si consideramos   es una función en términos de la variable independiente x y   es una función en términos de la variable dependiente y, dado que  , entonces para obtener la derivada:

 

Ejemplo

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Obtener la derivada de:

 

El término   se puede considerar que son dos funciones,   y   por lo que se derivará como un producto:

 

El término   se deriva como:

 

El término   se deriva de forma normal como:

 

El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.

 

El término   se puede considerar como un producto y se deriva como:

 

Al unir todos los términos se obtiene:

 

Ordenando:

 

Factorizando respecto a (   ) los valores son:

 

Finalmente despejando   se obtiene la derivada de la función implícita:

 


Véase también

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Referencias

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  • John B. FRALEIGH. Cálculo con geometría analítica. Fondo Educativo Interamericano, S.A. México D.F., 1984 ISBN 968-50-0127-8

Enlaces externos

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