Discusión:Conjunto generador de un grupo

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Introducción mejorableEditar

Considero que la introducción de este artículo podría editarse para que sea menos liosa, forzada y repetitiva. Por ello planteo una introducción alternativa mencionando la correlación entre los conceptos de grupo generado y conjunto generador.

En teoría de grupos, existen los conceptos de conjunto generador de un grupo y, recíprocamente, el de grupo generado por un conjunto. Ambos conceptos están intrínsecamente relacionados.
Dado un grupo  , un conjunto generador de éste será un subconjunto   de manera que todo elemento de   se puede obtener como resultado de una cantidad finita de operaciones entre un conjunto finito de elementos de  . Análogamente, se dirá que   está generado por  .
Más generalmente, dado un grupo   y un subconjunto arbitrario   siempre es posible contruir el grupo generado por   el cual se denota como  . Si tomamos la notación multiplicativa, tenemos que el subgrupo generado viene dado explícitamente como sigue:
 
Puede probarse además, que   es el menor subgrupo en   que contiene al conjunto  . Es por esto que se toma como equivalente la definición que sigue (la cual además justifica que   genere al grupo neutro):
 
Si un grupo   es generado por un único elemento; es decir,  , se dirá que   es un grupo cíclico. Recíprocamente, todo subgrupo generado por un único elemento será cíclico.


Obviamente la mía admitirá seguramente mejoras (visuales o de redacción); pero antes de hacer ningún cambio creo conveniente consultarlo. Saludos, --DavosMat (discusión) 15:14 31 may 2016 (UTC)

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