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Distribución de Laplace

densidad de probabilidad continua

En estadística y en teoría de la probabilidad la distribución de Laplace es una densidad de probabilidad continua, llamada así en honor a Pierre-Simon Laplace. Es también conocida como distribución doble exponencial puesto que puede ser considerada como la relación las densidades de dos distribuciones exponenciales adyacentes. La distribución de Laplace resulta de la diferencia de dos variables exponenciales aleatorias, independientes e idénticamente distribuidas.

Laplace
Densité de la loi de Laplace
Función de densidad de probabilidad
Fonction de répartition de la loi de Laplace
Función de distribución de probabilidad
Parámetros Parámetro de localización (real)
Parámetro de escala (real)
Dominio
Función de densidad (pdf)
Función de distribución (cdf) ver texto
Media
Mediana
Moda
Varianza
Coeficiente de simetría
Curtosis
Entropía
Función generadora de momentos (mgf) for
Función característica

Índice

CaracterizaciónEditar

Densidad de probabilidadEditar

Una variable aleatoria posee una distribución de Laplace(μ, b) si su densidad de probabilidad es

 

 

Siendo μ un parámetro de localización y b > 0 un parámetro de escala. Si μ = 0 y b = 1, la distribución de Laplace se dice que es estándar y su restricción a los números reales positivos es la distribución exponencial de parámetro 1/2.

La función de densidad de probabilidad de la distribución de Laplace recuerda la de la distribución normal, pero mientras la distribución normal se expresa en términos de la diferencia al cuadrado  , la distribución de Laplace hace intervenir la diferencia absoluta  . Así la distribución de Laplace presenta colas más gruesas que la distribución normal.

Función de distribución acumulativaEditar

La integral de la distribución de Laplace se obtiene con facilidad gracias al uso del valor absoluto. Su función de distribución acumulativa es:

   
 
 


La inversa de la función de distribución acumulativa es:

 

Generación de una variable aleatoria con la distribución de LaplaceEditar

Dada una variable aleatoria U, generada por una distribución uniforme continua dentro del intervalo (-1/2, 1/2], la variable aleatoria

 

presenta una distribución de Laplace de parámetros μ y b. Esto resulta de la inversa de la función de distribución acumulativa y del método de la transformada inversa.

Una variable Laplace(0, b) puede también generarse como la diferencia de dos variables exponenciales, de parámetros 1/b, independientes. Así mismo, un distribución de Laplace(0, 1) puede obtenerse como el logaritmo del cociente de dos variables uniformes independientes.

Estimación de los parámetrosEditar

Dada una muestra de N variables independientes e idénticamente distribuidas (iid) x1, x2, ..., xN, un estimador   de   es la mediana empírica,[1]​ y un estimador para máxima verosimilitud de b es

 

MomentosEditar

 

 
Aplicación de la distribución de probabilidad acumulada de Laplace a lluvias diárias máximas.[2]

AplicaciónEditar

  • En la hidrología, se utiliza la distribución de Laplace para analizar variables aleatorias como valores máximos de la precipitación y la descarga de ríos,[3]​ y además para describir épocas de sequía.[4]

La imagen azul ilustra un ejemplo de ajuste de la distribución de Weibull a lluvias máximas diarias ordenadas, mostrando también la franja de 90% de confianza, basada en la distribución binomial. Las observaciones presentan los marcadores de posición, como parte del análisis de frecuencia acumulada.

Distribuciones relacionadasEditar

  • Si   entonces   es una distribución exponencial;
  • Si   y   independiente de  , entonces  ;
  • Si   y   independientes de  , entonces  .
  • Si   y   independiente de  , entonces  .
  • La distribución normal generalizada (version 1) iguala a la distribución de Laplace cuando su parámetro   es igual a 1. El parámetro de escala   es entonces igual a  .

ReferenciasEditar

  1. Robert M. Norton (mayo de 1984). «The Double Exponential Distribution: Using Calculus to Find a Maximum Likelihood Estimator». The American Statistician 38 (2): 135-136. doi:10.2307/2683252. 
  2. CumFreq software para adecuación de distribuciones de probabilidad [1]
  3. Oosterbaan, R.J. (1994). «Chapter 6 Frequency and Regression Analysis». En Ritzema, H.P. Drainage Principles and Applications, Publication 16. Wageningen, The Netherlands: International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI). pp. 175-224. ISBN 90-70754-33-9. 
  4. Burke, Eleanor J.; Perry, Richard H.J.; Brown, Simon J. (2010). «An extreme value analysis of UK drought and projections of change in the future». Journal of Hydrology 388: 131. doi:10.1016/j.jhydrol.2010.04.035. 

Véase tambiénEditar