Distribución geométrica

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución geométrica es cualquiera de las dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes:

  • Si es el número necesario para obtener un éxito.
  • Si es el número de fracasos antes del primer éxito.
Geométrica
Parámetros
Dominio
Función de densidad (pdf)
Función de distribución (cdf)
Media
Moda 0
Varianza
Coeficiente de simetría
Curtosis
Entropía
Función generadora de momentos (mgf)

DefiniciónEditar

NotaciónEditar

Si una variable aleatoria discreta   sigue una distribución geométrica con parámetro   entonces escribiremos   o simplemente  .

Función de probabilidadEditar

Si la variable aleatoria discreta   se usa para modelar el número de fracasos antes de obtener el primer éxito en una sucesión de ensayos independientes Bernoulli en donde en cada uno de ellos la probabilidad de éxito es   entonces la función de probabilidad de   es

 

para  

Función de distribuciónEditar

Si   entonces la función de distribución está dada por

 

para  

PropiedadesEditar

Si   considerando que   modela el número de fracasos antes del primer éxito entonces la variable aleatoria   cumple con algunas propiedades:

MediaEditar

La media de  , siempre que   modele el número de ensayos hasta obtener el primer éxito, [1]​está dada por

 

y esta se demuestra fácilmente si consideramos la definición de esperanza

 

donde se consideró la serie geométrica

 

si  .

VarianzaEditar

La varianza de   está dada por

 .

Función generadora de probabilidadEditar

La función generadora de probabilidad f.g.p está dada por

 .

si  .

Función generadora de momentosEditar

La función generadora de momentos está dada por

 

si  .

Pérdida de MemoriaEditar

La distribución geométrica tiene la propiedad de pérdida memoria, es decir, para cualesquiera  

 .

Su distribución análoga, la distribución exponencial, también tiene la propiedad de pérdida de memoria. Esto significa que si intentamos repetir el experimento hasta el primer éxito, entonces, dado que el primer éxito todavía no ha ocurrido, la distribución de condicional del número de ensayos adicionales no depende de cuantos fallos se hayan observado. El dado o la moneda que uno lanza no tiene "memoria" de estos fallos.

La distribución geométrica es la única distribución discreta que tiene la propiedad de pérdida de memoria.


Distribuciones relacionadasEditar

  • La distribución geométrica   es un caso particular de la distribución binomial negativa con parámetro  . Más generalmente, si   son variables aleatorias independientes distribuidas geométricamente con parámetro   entonces
 
es decir,   sigue a una distribución binomial negativa con parámetros   y  .
  • Si   son variables aleatorias independientes distribuidas geométricamente (con diferentes parámetros de éxito pm posibles ), entonces su mínimo
 
también está geométricamente distribuido con parámetro
 .

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. Ross, Sheldon (2009). A First Course in Probability (8th edición). Pearson. p. 545. ISBN 0-13-603313-X. 

Enlaces externosEditar