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Distribución log-normal

En probabilidades y estadísticas, la distribución normal logarítmica es una distribución de probabilidad de una variable aleatoria cuyo logaritmo está normalmente distribuido. Es decir, si X es una variable aleatoria con una distribución normal, entonces exp(X) tiene una distribución log-normal.

La base de una función logarítmica no es importante, ya que loga X está distribuida normalmente si y solo si logb X está distribuida normalmente, solo se diferencian en un factor constante.

Log-normal también se escribe log normal o lognormal.

Una variable puede ser modelada como log-normal si puede ser considerada como un producto multiplicativo de muchos pequeños factores independientes. Un ejemplo típico es un retorno a largo plazo de una inversión: puede considerarse como un producto de muchos retornos diarios.

La distribución log-normal tiende a la función densidad de probabilidad

para , donde y son la media y la desviación estándar del logaritmo de variable. El valor esperado es

y la varianza es

.

Índice

Relación con media y la desviación estándar geométricaEditar

La distribución log-normal, la media geométrica, y la desviación estándar geométrica están relacionadas. En este caso, la media geométrica es igual a   y la desviación estándar geométrica es igual a  .

Si una muestra de datos determina que proviene de una población distribuida siguiendo una distribución log-normal, la media geométrica de la desviación estándar geométrica puede utilizarse para estimar los intervalos de confianza tal como la media aritmética y la desviación estándar se usan para estimar los intervalos de confianza para un dato distribuido normalmente.

Límite de intervalo de confianza log geométrica
3σ límite inferior    
2σ límite inferior    
1σ límite inferior    
1σ límite superior    
2σ límite superior    
3σ límite superior    

Donde la media geométrica   y la desviación estándar geométrica  

MomentosEditar

Los primeros momentos son:

 
 
 
 

o de forma general:

 

Estimación de parámetrosEditar

Para determinar los estimadores que más se aproximan a los parámetros μ y σ de la distribución log-normal, podemos utilizar los mismos procedimientos que para la distribución normal. Para no repetirlo, obsérvese que

 

donde por   denotamos la función densidad de probabilidad de distribución log-normal, y por   a la de la distribución normal. Por lo tanto, utilizando los mismos índices para denotar las distribuciones, podemos escribir que

 

Ya que el primer término es constante respecto a μ y σ, ambas funciones logarítmicas,   y  , obtienen su máximo con el mismo μ y σ. Por tanto, utilizando las fórmulas para los estimadores de parámetros de la distribución normal, y la igualdad de arriba, deducimos que para la distribución log-normal se cumple:

 
 
Distribución log-normal ajustada a datos de lluvias máximas diarias por año. [1]

AplicaciónEditar

  • En la hidrología, se utiliza la distribución log-normal para analizar variables aleatorias como valores máximos de la precipitación y la descarga de ríos,[2]​ y además para describir épocas de sequía.[3]


El imagen azul ilustra un ejemplo del ajuste de la distribución log-normal a lluvias máximas diarias ordenadas, mostrando también la franja de 90% de confianza, basada en la distribución binomial. Las observaciones presentan los marcadores de posición, como parte del análisis de frecuencia acumulada.

Distribución relacionadaEditar

  • Si   es una distribución normal, entonces  .
  • Si   son variables independentes log-normalmente distribuidas con el mismo parámetro μ y permitiendo que varíe σ, y  , entonces Y es una variable distribuida log-normalmente como:  .

Véase tambiénEditar

SoftwareEditar

Se puede usar software o programa de computadora para el ajuste de una distribución de probabilidad, incluyendo la lognormal, a una serie de datos:

ReferenciasEditar

  1. CumFreq, software for cumulative frequency analysis and probability distribution fitting [1]
  2. Oosterbaan, R.J. (1994). «Chapter 6 Frequency and Regression Analysis». En Ritzema, H.P. Drainage Principles and Applications, Publication 16. Wageningen, The Netherlands: International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI). pp. 175-224. ISBN 90-70754-33-9. 
  3. Burke, Eleanor J.; Perry, Richard H.J.; Brown, Simon J. (2010). «An extreme value analysis of UK drought and projections of change in the future». Journal of Hydrology 388: 131. doi:10.1016/j.jhydrol.2010.04.035.