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En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeña.

Distribución t de student
Student densite best.JPG
Función de densidad de probabilidad
T distributionCDF.png
Función de distribución de probabilidad
Parámetros grados de libertad (real)
Dominio
Función de densidad (pdf)
Función de distribución (cdf) donde es la función hipergeométrica
Media para , indefinida para otros valores
Mediana
Moda
Varianza para , indefinida para otros valores
Coeficiente de simetría para
Curtosis para
Entropía

  • : función digamma,
  • : función beta
Función generadora de momentos (mgf) (No definida)

Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las diferencias entre dos varianzas muestrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las partes de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y esta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.

Fue desarrollada por William Sealy Gosset, bajo el seudónimo Student.

Índice

CaracterizaciónEditar

La distribución t de Student es la distribución de probabilidad del cociente

 

donde

Si μ es una constante no nula, el cociente   es una variable aleatoria que sigue la distribución t de Student no central con parámetro de no-centralidad  .

Aparición y especificaciones de la distribución t de StudentEditar

Supongamos que X1,..., Xn son variables aleatorias independientes distribuidas normalmente, con media μ y varianza σ2. Sea

 

la media muestral. Entonces

 

sigue una distribución normal de media 0 y varianza 1.

Sin embargo, dado que la desviación estándar no siempre es conocida de antemano, Gosset estudió un cociente relacionado,

 


 

es la cuasivarianza muestral y demostró que la función de densidad de T es

 

donde   es igual a n − 1.

La distribución de T se llama ahora la distribución-t de Student.

El parámetro   representa el número de grados de libertad. La distribución depende de  , pero no de   o  , lo cual es muy importante en la práctica.

Intervalos de confianza derivados de la distribución t de StudentEditar

El procedimiento para el cálculo del intervalo de confianza basado en la t de Student consiste en estimar la desviación típica de los datos S y calcular el error estándar de la media:  , siendo entonces el intervalo de confianza para la media:   .

Es este resultado el que se utiliza en el test de Student: puesto que la diferencia de las medias de muestras de dos distribuciones normales se distribuye también normalmente, la distribución t puede usarse para examinar si esa diferencia puede razonablemente suponerse igual a cero.

Para efectos prácticos el valor esperado y la varianza son:

  y   para  

HistoriaEditar

La distribución de Student fue descrita en 1908 por William Sealy Gosset. Gosset trabajaba en una fábrica de cerveza, Guinness, que prohibía a sus empleados la publicación de artículos científicos debido a una difusión previa de secretos industriales. De ahí que Gosset publicase sus resultados bajo el seudónimo de Student.[1]

Distribución t de Student no estandarizadaEditar

La distribución t puede generalizarse a 3 parámetros, introduciendo un parámero locacional   y otro de escala  . El resultado es una distribución t de Student no estandarizada cuya densidad está definida por:[2]

 

Equivalentemente, puede escribirse en términos de   (correspondiente a la varianza en vez de a la desviación estándar):

 

Otras propiedades de esta versión de la distribución t son:[2]

 

ReferenciasEditar

  1. Walpole, Roland; Myers, Raymond y Ye, Keying (2002). Probability and Statistics for Engineers and Scientists. Pearson Education. 
  2. a b Jackman, Simon (2009). Bayesian Analysis for the Social Sciences. Wiley. p. 507. 

Enlaces externosEditar