Distribución uniforme continua

Distribución uniforme en un intervalo

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución uniforme continua es una familia de distribuciones de probabilidad para variables aleatorias continuas, tales que para cada miembro de la familia, todos los intervalos de igual longitud en la distribución en su rango son igualmente probables. El dominio está definido por dos parámetros, y , que son sus valores mínimo y máximo respectivamente.

Uniforme
PDF of the uniform probability distribution using the maximum convention at the transition points.
Utilizando convención de máximo
Función de densidad de probabilidad
CDF of the uniform probability distribution.
Función de distribución de probabilidad
Parámetros
Dominio
Función de densidad (pdf)
Función de distribución (cdf)
Media
Mediana
Moda cualquier valor en
Varianza
Coeficiente de simetría
Curtosis
Entropía
Función generadora de momentos (mgf)
Función característica

DefiniciónEditar

NotaciónEditar

Si   es una variable aleatoria continua con distribución uniforme continua entonces escribiremos   o  .

Función de densidadEditar

Si   entonces la función de densidad es:

 

para  .

Función de distribuciónEditar

Si   entonces la función de distribución es:

 

la cual es fácil de obtener a partir de la función de densidad pues

 

PropiedadesEditar

Si   es una variable aleatoria tal que   entonces la variable aleatoria   satisface algunas propiedades.

MediaEditar

La media de la variable aleatoria   es

 

Esta se demuestra fácilmente utilizando la definición de esperanza matemática

 

Si uno grafica la función de densidad de esta distribución notará que la media corresponde al punto medio del intervalo  .

VarianzaEditar

La varianza de la variable aleatoria   es

 

MomentosEditar

El  -ésimo momento de la variable aleatoria   está dado por

 

para  .

Función generadora de momentosEditar

La función generadora de momentos de esta distribución es

 

para valores  .

Generalización a conjuntos de BorelEditar

Esta distribución puede ser generalizada a conjuntos de intervalos más complicados. Si   es un conjunto de Borel de medida finita positiva, la distribución probabilidad uniforme en   se puede especificar definiendo que la pdf sea nula fuera de   e igual a 1/K dentro de  , donde K es la medida de Lebesgue de  .

Estadísticas de ordenEditar

Sea   una muestra independiente e identicamente distribuidas de  . Sea   el  -ésimo estadístico de orden de esta muestra. Entonces la distribución de probabilidad de   es una distribución Beta con parámetros   y  . La esperanza matemática es

 

Esto es útil cuando se realizan Q-Q plots.

Las varianzas son

 

UniformidadEditar

La probabilidad de que una variable aleatoria uniformemente distribuida se encuentre dentro de algún intervalo de longitud finita es independiente de la ubicación del intervalo (aunque sí depende del tamaño del intervalo), siempre que el intervalo esté contenido en el dominio de la distribución.

Es posible verificar esto, por ejemplo si   y   es un subintervalo de   con   fijo y  , entonces

 

lo cual es independiente de  . Este hecho es el que le da su nombre a la distribución.

Distribución uniforme estándarEditar

Si se restringe   y   entonces la distribución resultante se llama distribución uniforme estándar. Si   es una variable aleatoria con distribución uniforme estándar entonces se escribirá  .

Para esta distribución en particular, se tiene que:

Función de densidadEditar

La función de densidad para cualquier valor   es simplemente la constante  , esto es

 

Función de probabilidadEditar

La función de probabilidad de   se reduce a la recta identidad, esto es

 

para valores de  

Media y VarianzaEditar

La media y varianza están dadas por

 
 

respectivamente.

Una propiedad interesante de la distribución uniforme estándar es que si una variable aleatoria   entonces  .

Distribuciones relacionadasEditar

Si   tiene una distribución uniforme estándar, es decir,   entonces:

  •   tiene una distribución exponencial con parámetro  , es decir  .
  •   tiene una distribución beta con parámetros   y  . (Notar que esto implica que la distribución uniforme estándar es un caso especial de la distribución beta, con parámetros 1 y 1).

Relaciones con otras funcionesEditar

Siempre y cuando se sigan las mismas convenciones en los puntos de transición, la función densidad de probabilidad puede también ser expresada mediante la función escalón de Heaviside:

  o en términos de la función rectángulo
 

No existe ambigüedad en el punto de transición de la función signo. Utilizando la convención de la mitad del máximo en los puntos de transición, la distribución uniforme se puede expresar a partir de la función signo como:

 

AplicacionesEditar

En estadística, cuando se utiliza un p-valor a modo de prueba estadística para una hipótesis nula simple, y la distribución de la prueba estadística es continua, entonces la prueba estadística esta uniformemente distribuida entre 0 y 1 si la hipótesis nula es verdadera.

Muestreo de una distribución uniformeEditar

Existen muchos usos en que es útil realizar experimentos de simulación. Muchos lenguajes de programación poseen la capacidad de generar números pseudo-aleatorios que están distribuidos de acuerdo a una distribución uniforme estándar.

Si u es un valor muestreado de una distribución uniforme estándar, entonces el valor a + (ba)u posee una distribución uniforme parametrizada por a y b, como se describió previamente.

Muestreo de una distribución arbitrariaEditar

La distribución uniforme resulta útil para muestrear distribuciones arbitrarias. Un método general es el método de muestreo de transformación inversa, que utiliza la distribución de probabilidad (CDF) de la variable aleatoria objetivo. Este método es muy útil en trabajos teóricos. Dado que las simulaciones que utilizan este método requieren invertir la CDF de la variable objetivo, se han diseñado métodos alternativos para aquellos casos donde no se conoce el CDF en una forma cerrada. Otro método similar es el rejection sampling.

La distribución normal es un ejemplo importante en el que el método de la transformada inversa no es eficiente. Sin embargo, existe un método exacto, la transformación de Box-Muller, que utiliza la transformada inversa para convertir dos variables aleatorias uniformes independientes en dos variables aleatorias independientes distribuidas normalmente.

Véase tambiénEditar

Enlaces externosEditar