Ecuación de Böttcher
La ecuación de Böttcher es la ecuación funcional.
donde
- h es una función analítica dada con un punto fijo superatrayente de orden n en a, (es decir, en un entorno de a), con n ≥ 2
- F es una función buscada.
El logaritmo de esta ecuación funcional equivale a la ecuación de Schröder.
Nombre editar
La ecuación lleva el nombre de Lucjan Böttcher.
Solución editar
La solución de la ecuación funcional es una función en forma implícita .
Lucian Emil Böttcher bosquejó una prueba en 1904 sobre la existencia de una solución: una función analítica F en una vecindad del punto fijo a, tal que:[1]
Esta solución a veces se llama:
- la coordenada de Böttcher
- La función Böttcher[2]
- el mapa de Boettcher
La prueba completa fue publicada por Joseph Ritt en 1920,[3] que desconocía la formulación original.[4]
La coordenada de Böttcher (el logaritmo de la función de Schröder ) conjuga h(z) en una vecindad del punto fijo a la función zn. Un caso especialmente importante es cuando h(z) es un polinomio de grado n , y a = ∞.[5]
Ejemplos editar
Para la función h y n = 2[6]
la función F de Böttcher es:
Aplicaciones editar
La ecuación de Böttcher desempeña un papel fundamental en la parte de la dinámica holomórfica que estudia la iteración de polinomios de una variable compleja .
Las propiedades globales de la coordenada de Böttcher fueron estudiadas por Fatou[7][8] y Douady y Hubbard.[9]
Véase también editar
Referencias editar
- ↑ Böttcher, L. E. (1904). «The principal laws of convergence of iterates and their application to analysis (in Russian)». Izv. Kazan. Fiz.-Mat. Obshch. 14: 155-234.
- ↑ JF Ritt.
- ↑ Ritt, Joseph (1920). «On the iteration of rational functions». Trans. Amer. Math. Soc. 21 (3): 348-356. doi:10.1090/S0002-9947-1920-1501149-6.
- ↑ Stawiska, Małgorzata (15 de noviembre de 2013). «Lucjan Emil Böttcher (1872–1937) - The Polish Pioneer of Holomorphic Dynamics». .
- ↑ Cowen, C. C. (1982). «Analytic solutions of Böttcher's functional equation in the unit disk». Aequationes Mathematicae 24: 187-194. doi:10.1007/BF02193043.
- ↑ Chaos por Arun V. Holden Princeton University Press, 14 lab. 2014 - 334
- ↑ Alexander, Daniel S.; Iavernaro, Felice; Rosa, Alessandro (2012). Early Days in Complex Dynamics: A history of complex dynamics in one variable during 1906–1942. ISBN 978-0-8218-4464-9.
- ↑ Fatou, P. (1919). «Sur les équations fonctionnelles, I». Bulletin de la Société Mathématique de France 47: 161-271. JFM 47.0921.02. doi:10.24033/bsmf.998.; Fatou, P. (1920). «Sur les équations fonctionnelles, II». Bulletin de la Société Mathématique de France 48: 33-94. JFM 47.0921.02. doi:10.24033/bsmf.1003.; Fatou, P. (1920). «Sur les équations fonctionnelles, III». Bulletin de la Société Mathématique de France 48: 208-314. JFM 47.0921.02. doi:10.24033/bsmf.1008.
- ↑ Douady, A.; Hubbard, J. (1984). «Étude dynamique de polynômes complexes (première partie)». Publ. Math. Orsay. Archivado desde el original el 24 de diciembre de 2013. Consultado el 8 de marzo de 2019.; Douady, A.; Hubbard, J. (1985). «Étude dynamique des polynômes convexes (deuxième partie)». Publ. Math. Orsay. Archivado desde el original el 24 de diciembre de 2013. Consultado el 8 de marzo de 2019.
Datos: Q5005188
