Ecuación diferencial ordinaria de Riccati

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La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinaria, no lineal de primer orden, inventada y desarrollada en el siglo XVIII por el matemático italiano Jacopo Francesco Riccati, con el fin de analizar la hidrodinámica. En 1724 publicó una investigación multilateral de la ecuación, llamada, por iniciativa de D'Alembert (1769): Ecuación de Riccati. La investigación de la ecuación de Riccati convocó el esfuerzo de varios matemáticos: Leibniz, Goldbach, Juan Bernoulli y sus hijos Nicolás y Daniel Bernoulli, y posteriormente, a Euler.[1]

Generalmente, esta ecuación la presentan en la forma:

.

IntegraciónEditar

Esta ecuación se resuelve si previamente se conoce una solución particular, sea  .

Conocida dicha solución, se hace el cambio:

 

y reemplazando, se obtiene:

 

es decir:

 

 

lo que equivale a:

 

 

que corresponde a una ecuación diferencial de Bernoulli.

ObservaciónEditar

Obsérvese que si se hace la sustitución:

 

propuesta por Euler en la década de 1760[2]​ esto lleva directamente a una ecuación lineal diferencial de primer orden.

Aplicación a la ecuación SchwarzianaEditar

Una aplicación importante de la ecuación de Riccati es en la ecuación diferencial Schwarziana de 3.er orden

 

que aparece en la teoría del mapeo conforme y funciones univalentes. En este caso, las ecuaciones están en el dominio complejo y la diferenciación es con respecto a una variable compleja. (El derivado de Schwarzian   tiene la notable propiedad de que es invariante bajo las transformaciones de Möbius, es decir,   siempre que   sea no cero.) La función   satisface la ecuación de Riccati

 

Por lo anterior   donde   es una solución del ODE lineal

 

Dado que  , la integración da   por alguna constante  . Por otro lado, cualquier otra solución independiente   o de la ODE lineal tiene un Wronskiano constante distinto de cero   que se puede tomar para ser   después de escalar.

Entonces

 

para que la ecuación de Schwarz tenga solución  

NotasEditar

  1. Historia de las matemáticas, de Ribnikov, Librería Científica, Lima. pag. 258.
  2. Ibídem, pag. 258.