Elemento supremo e ínfimo

concepto matemático

En matemáticas, dado un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado , el supremo de , si existe, es el mínimo elemento de que es mayor o igual a cada elemento de . En otras palabras, es la mínima de las cotas superiores de . El supremo de un conjunto comúnmente se denota como .

Un conjunto A de números reales (representados por círculos azules), un conjunto de cotas superiores de A (círculos rojos), y el mínimo de las cotas superiores, el supremo de A (diamante rojo).

DefinicionesEditar

Sea   un subconjunto no vacío de  .

  1. Si   está acotado por arriba , entonces se dice que una cota superior es un supremo - o una mínima cota superior- de   si es menor que cualquier cota superior de  . En tal caso, a esa cota superior se le denota  .
  2. Si   está acotado por de abajo, entonces se dice que una cota inferior es un ínfimo - o una máxima cota inferior- de   si es mayor que cualquier cota inferior de  . En tal caso, a esa cota inferior se le denota  [1]

PropiedadesEditar

  • En el campo de los números reales, todo subconjunto no vacío, acotado superiormente posee un supremo, contenido o no dentro del subconjunto.
  •   es supremo del subconjunto   no vacío del conjunto   de números reales si es cota superior de   y si, y solo si para toda   existe   en   tal que  .
  •   es ínfimo del subconjunto   no vacío del conjunto   de números reales si es cota inferior de   y si, y solo si para toda   existe   en   tal que  .
  • Sean   un subconjunto acotado de números reales y   un subconjunto no vacío de  . Se cumple que  .[2]
  • Si el supremo (ínfimo) existe, entonces es único
  •  , si es que dichos supremos existen
  •  , si es que dichos ínfimos existen
  • Un conjunto tiene máximo (mínimo) si y solamente si el supremo (ínfimo) es un elemento de dicho conjunto.

EjemplosEditar

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Véase tambiénEditar

  • Elemento supremo e ínfimo

ReferenciasEditar

  1. Bartle- Sherbert. Introducción al análisis matemático de una variable.ISBN 968-18-1725-7
  2. Rodríguez y otros. cálculo diferencial e integral. Parte I

Literatura de consultaEditar