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Elemento supremo e ínfimo

concepto matemático
Un conjunto A de números reales (representados por círculos azules), un conjunto de cotas superiores de A (círculos rojos), y el mínimo de las cotas superiores, el supremo de A (diamante rojo).

En matemáticas, dado un subconjunto S de un conjunto parcialmente ordenado (P, <), el supremo de S, si existe, es el mínimo elemento de P que es mayor o igual a cada elemento de S. En otras palabras, es la mínima de las cotas superiores de S. El supremo de un conjunto S comúnmente se denota sup(S).

DefinicionesEditar

Sea   un subconjunto no vacío de  .

  1. Si   está acotado por arriba , entonces se dice que una cota superior es un supremo - o una mínima cota superior- de   si es menor que cualquier cota superior de  . En tal caso, a esa cota superior se le denota  .
  2. Si   está acotado por abajo, entonces se dice que una cota inferior es un ínfimo - o una máxima cota inferior- de   si es mayor que cualquier cota inferior de  . En tal caso, a esa cota inferior se le denota  [1]

PropiedadesEditar

  • s es supremo del subconjunto T no vacío del conjunto R de números reales si es cota superior de T y si sólo si para toda ε > 0 existe sε en T tal que s-ε < sε.
  • r es ínfimo del subconjunto T no vacío del conjunto R de números reales si es cota inferior de T y si sólo si para toda ε > 0 existe rε en T tal que r+ε > rε.
  • Sea L un subconjunto acotado de números reales. A su vez K un subconjunto no vacío de L, entonces se cumple que inf L ≤ inf K ≤ sup K ≤sup L.[2]
  • Si el supremo (ínfimo) existe, entonces es único
  •  , si es que dichos supremos existen
  •  , si es que dichos ínfimos existen
  • Un conjunto tiene máximo (mínimo) si y solamente si el supremo (ínfimo) es un elemento de dicho conjunto.

EjemplosEditar

  • En el campo de los números reales, todo subconjunto no vacío, acotado superiormente posee un supremo, contenido o no dentro del subconjunto.
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Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. Bartle- Sherbert. Introducción al análisis matemático de una variable.ISBN 968-18-1725-7
  2. Rodríguez y otros. cálculo diferencial e integral. Parte I

Literatura de consultaEditar