Espacio T1

Axiomas de separación
en espacios topológicos
T0
T1
T2
T
completamente T2
T3
T
T4
T5
T6

En topología un espacio T1 o de Fréchet es un caso particular de espacio topológico.

DefiniciónEditar

Un espacio topológico   es   si para cada pareja de elementos distintos  ,   de   existe un abierto que contiene a   y no a  . Esto claramente implica que también existe un abierto que contiene a   y no a  , ya que también se cumple para la pareja  ,  . Por tanto, también se suele definir como un espacio topológico tal que para cada pareja de elementos distintos   e   de   existe un abierto que contiene a   y no a   y también existe un abierto que contiene a   y no a  

Notar que no es necesario que estos dos abiertos sean disjuntos (si esto ocurriera para todo   e  , sería un espacio de Hausdorff o  ).

PropiedadesEditar

Sea   un espacio topológico. Son equivalentes:

  •   es un espacio  .
  •   es un espacio   y un espacio  .
  • Para cada   de  ,   es cerrado.
  • Todo conjunto de un único punto es la intersección de sus entornos.
  • Todo subconjunto de   es la intersección de sus entornos.
  • Todo suconjunto finito de   es cerrado.
  • Todo subconjunto cofinito de   es abierto.
  • El ultrafiltro principal de   converge solamente a  .
  • Para cada punto   de   y todo subcojunto   de  ,   es un punto límite de   si y sólo sí es un punto de acumulación de  .

La propiedad de ser T1 es hereditaria, es decir, los subespacios de un T1 es también T1.[1]

Nota y casosEditar

  • Sea (ℕ, T) donde Tx = {A ⊂ ℕ; x ∈ A y ℕ - A es finito}. Entonces T es una estructura topológica sobre ℕ, llamada estructura topológica cofinita que es T1 pero no T2.[2]
  • Cualquier espacio T1 finito es un espacio topológico discreto.[3]
  • Sea   con la topología formada por los subconjuntos de   siguientes:  ,  ,  ,  ,  . No es T1 ya que   no es cerrado.[4]

TeoremaEditar

Un espacio topológico es T1 si y sólo si cada punto es un conjunto cerrado.[3][5]

EjemplosEditar

ReferenciasEditar

  1. Llopis, José L. «Propiedades topológicas hereditarias». Matesfacil. ISSN 2659-8442. Consultado el 10 de octubre de 2019. 
  2. Ayala y otros: "Elementos de topología general" ISBN 84-7829-006-0
  3. a b Simmons: Introduction to Topology and Modern Analysis
  4. Llopis, José L. «Ejemplos y propiedades de los espacios topológicos finitos». Matesfacil. ISSN 2659-8442. Consultado el 11 de octubre de 2019. 
  5. Llopis, José L. «Espacio topológico de Fréchet T1». Matesfacil. ISSN 2659-8442. Consultado el 13 de octubre de 2019. 
  6. Sapiña, R. «Topología cofinita». Problemas y Ecuaciones. ISSN 2659-9899. Consultado el 13 de octubre de 2019. 
  7. Sapiña, R. «Espacio de Sierpinski». Problemas y Ecuaciones. ISSN 2659-9899. Consultado el 13 de octubre de 2019. 

Véase tambiénEditar

BibliografíaEditar

Enlaces externosEditar