Espacio contráctil

La noción de espacio contráctil o contractible es muy importante en topología algebraica, ya que representa la clase más sencilla de espacios desde el punto de vista de la homotopía.​​

En topología, un espacio topológico $X$ es contráctil si tiene el tipo de homotopía de un punto, es decir, si existe una equivalencia homotópica entre el espacio $X$ y un espacio $\{q\}$ formado por un solo punto.​

En un espacio topológico contráctil $X$ o contractible la aplicación identidad $1_{X}:X\to X$ es homótopa a alguna aplicación constante $c:X\to X$ tal que $c(x)=p$ con $p\in X$ para cualquier $x\in X$. Intuitivamente, un espacio contráctil puede ser deformado continuamente hasta convertirlo en un punto.​ ​ ​

Propiedades

Un espacio contráctil verifica las siguientes propiedades:

• Es conexo por caminos.
• Su grupo fundamental de homotopía es trivial.
• Como consecuencia de las dos propiedades anteriores, es simplemente conexo.

Ejemplos

• El espacio euclídeo $\mathbb {R} ^{n}$ es contráctil.
• La esfera n-dimensional $S^{n}$ no es contráctil.
• La esfera unitaria en un espacio de Hilbert de infinitas dimensiones es contráctil como consecuencia del teorema de Kuiper.

Bibliografía

• Ayala-Domínguez-Quintero (2002). Elementos de la teoría de homología clásica. Universidad de Sevilla. Secretariado de publicaciones. ISBN 84-472-0705-6. 

• Datos: Q230689