Espacio de Fréchet

espacio localmente convexo que está completo con respecto a una métrica invariante a la traslación

En análisis funcional y áreas relacionadas de matemáticas, los espacios Fréchet, que llevan el nombre de Maurice Fréchet, son espacios vectoriales topológicos especiales. Son generalizaciones de espacios de Banach (espacio vectorial normado que es completo con respecto a la metrica inducida por la norma). Todos los espacios de Banach y de Hilbert son espacios de Fréchet.

Los espacios de funciones infinitamente diferenciables son ejemplos típicos de espacios de Fréchet, muchos de los cuales son típicamente espacios que no son de Banach.

Un espacio de Fréchet se define como un localmente convexo espacio vectorial topológico (EVT) metrizable que es completo como EVT,[1]​ lo que significa que cada sucesión de Cauchy en converge en algún punto en (consúltese la nota al pie para obtener más detalles).[nota 1]

Nota importante: No todos los autores requieren que un espacio de Fréchet sea localmente convexo (discutido más abajo).

La topología de todo espacio de Fréchet es inducida por algún simetría traslacional métrico completo. Por el contrario, si la topología de un espacio localmente convexo es inducida por una métrica completa invariante en la traslación, entonces es un espacio de Fréchet.

Fréchet fue el primero en usar el término "espacio de Banach" y Banach, a su vez, acuñó el término "espacio de Fréchet" para referirse a espacios vectoriales topológicos metrizables completos, sin el requisito de convexidad local (dicho espacio hoy en día a menudo se llama F-espacio).[1]

La condición de localmente convexo fue añadida posteriormente por Nicolas Bourbaki.[1]​ Es importante tener en cuenta que un número considerable de autores (por ejemplo, Schaefer) usan el término F-espacio para referirse a un espacio de Fréchet (localmente convexo), mientras que otros no requieren que un espacio de Fréchet sea localmente convexo. Además, algunos autores incluso usan "F-espacio" y "espacio de Fréchet" indistintamente.

Al consultar literatura matemática, se recomienda que el lector verifique siempre si la definición del libro o artículo de "F-espacio" y de "espacio de Fréchet" requiere o no convexidad local.[1]

DefinicionesEditar

Los espacios de Fréchet se pueden definir de dos formas equivalentes: el primero emplea una métrica de invariante a la traslación, y el segundo una familia de seminormas numerable.

Definición métrica invarianteEditar

Un espacio vectorial topológico   es un espacio de Fréchet si y solo si satisface las siguientes tres propiedades:

  1. Es un espacio localmente convexo.[nota 2]
  2. Su topología puede ser inducida por una métrica invariante a la traslación, es decir, una métrica   tal que   para todo   Esto significa que un subconjunto   de   es abierto si y solo si para cada   existe un   tal que   es un subconjunto de  
  3. Algunas (o de manera equivalente, todas) las métricas invariantes a la traslación en   que inducen la topología de   son completas.
  • Suponiendo que se cumplan las otras dos condiciones, esta condición es equivalente a que   sea un espacio vectorial topológico completo, lo que significa que   es un espacio uniforme completo cuando está dotado de su uniformidad canónica (esta uniformidad canónica es independiente de cualquier métrica en   y se define completamente en términos de sustracción de vectores y entornos del origen de  ; además, la uniformidad inducida por cualquier métrica invariante a la traslación (que define la topología) en   es idéntica a esta uniformidad canónica).

Debe tenerse en cuenta que no existe una noción natural de distancia entre dos puntos de un espacio de Fréchet: muchas métricas invariantes a la traslación diferentes pueden inducir la misma topología.

Definición de familia contable de seminormasEditar

La definición alternativa y algo más práctica es la siguiente: un espacio vectorial topológico   es un espacio de Fréchet si y solo si satisface las siguientes tres propiedades:

  1. Es un espacio de Hausdorff
  2. Su topología puede ser inducida por una familia contable de seminormas    . Esto significa que un subconjunto   es abierto si y solo si para cada   existe   y   tal que   es un subconjunto de  
  3. Es completo con respecto a la familia de seminormas.
  • Suponiendo que se cumplan las otras dos condiciones, esta condición es equivalente a que   sea un espacio vectorial topológico completo, lo que significa que   es un espacio uniforme completo cuando está dotado de su uniformidad canónica (esta uniformidad canónica es independiente de cualquier métrica en   y se define completamente en términos de la resta de vectores y los entornos del origen de  ; además, la uniformidad inducida por cualquier métrica invariante a la traslación (que define la topología) en   es idéntica a esta uniformidad canónica).

Debe tenerse en cuenta que no existe una noción natural de distancia entre dos puntos de un espacio de Fréchet: muchas métricas invariantes a la traslación diferentes pueden inducir la misma topología.

Como espacios de Baire tejidosEditar

Teorema:[2]
Un espacio vectorial topológico   es un espacio de Fréchet si y solo si es a la vez un espacio tejido y un espacio de Baire.


(de Wilde, 1978)

Comparación con los espacios de BanachEditar

A diferencia de los espacios de Banach, la métrica completa invariante a la traslación no necesita surgir de una norma. Sin embargo, la topología de un espacio de Fréchet surge tanto de una paranorma total como de una F-norma (la "F" significa de Fréchet).

Aunque el espacio topológico de los espacios de Fréchet es más complicado que el de los espacios de Banach debido a la posible falta de una norma, aún se mantienen muchos resultados importantes en el análisis funcional, como el teorema de la función abierta, el teorema de la gráfica cerrada y el teorema de Banach-Steinhaus.

Construcción de espacios de FréchetEditar

Recuerde que una seminorma   es una función de un espacio vectorial   a los números reales que satisfacen tres propiedades. Para todos los   y todos los escalares  

 
 
 

Si  , entonces   es de hecho una norma. Sin embargo, las seminormas son útiles porque nos permiten construir espacios de Fréchet, como sigue:

Para construir un espacio de Fréchet, normalmente se comienza con un espacio vectorial   y se define una familia contable de seminormas   en   con las siguientes dos propiedades:

  • si   y   para todos los   entonces  ;
  • si   es una secuencia en   que es Cauchy con respecto a cada seminorma   entonces existe   tal que   converge a   con respecto a cada seminorma  

Luego, la topología inducida por estas seminormas (como se explicó anteriormente) convierte a   en un espacio de Fréchet; la primera propiedad asegura que es Hausdorff y la segunda propiedad asegura que está completa. Una métrica completa invariante en la traducción que induce la misma topología en   se puede definir mediante

 

La función   asigna   monótonamente a   y, por lo tanto, la definición anterior garantiza que   es "pequeño" si y solo si existe   "grande", de modo que   es "pequeño" para  .

EjemplosEditar

En análisis funcional puroEditar

  • Todo espacio de Banach es un espacio de Fréchet, ya que la norma induce una métrica invariante a la traducción y el espacio es completo con respecto a esta métrica.
  • El espacio   de todas las secuencias de valor real se convierte en un espacio de Fréchet si se define la seminorma  -ésima de una secuencia como el valor absoluto del elemento  -ésimo de la secuencia. La convergencia en este espacio de Fréchet es equivalente a la convergencia de elementos.

En variedades suavesEditar

  • El espacio vectorial   de todas las funciones infinitamente diferenciables   se convierte en un espacio de Fréchet con las seminormas

 
para cada entero no negativo   Aquí,   denota la  -ésima derivada de   y   En este espacio de Fréchet, una secuencia   de funciones converge hacia el elemento   si y solo si para cada entero no negativo   la secuencia   converge uniformemente .
  • El espacio vectorial   de todas las funciones infinitamente diferenciables   se convierte en un espacio de Fréchet con las seminormas

 
para todos los enteros   Entonces, una sucesión de funciones   converge si y solo si para todo   las sucesiones   convergen compactamente.
  • El espacio vectorial   de todas las funciones continuamente diferenciables  -tiempos   se convierte en un espacio de Fréchet con las seminormas

 
para todos los enteros   y  
  • Si   es una variedad   compacta y   es un espacio de Banach, entonces el conjunto   de todas las funciones infinitamente diferenciables   se puede convertir en un espacio de Fréchet usando como seminormas la suprema de las normas de todas las derivadas parciales. Si   es una variedad   (no necesariamente compacta) que admite una secuencia numerable   de subconjuntos compactos, de modo que cada subconjunto compacto de   está contenido en al menos un  , entonces los espacios   y   también son espacios de Fréchet de manera natural.
Como caso especial, cada variedad completa suave de dimensión finita   se puede convertir en una unión anidada de subconjuntos compactos: equípese con una variedad de Riemann   que induce una métrica  , elíjase  ; y entonces
 
Sea   una  -variedad compacta y   un fibrado vectorial sobre   Sea   el espacio de secciones uniformes de   sobre   Elíjanse métricas y conexiones riemannianas, cuya existencia está garantizada, en los haces   y   Si   es una sección, denótese su derivada covariante jth por   Entonces

 
(donde   es la norma inducida por la métrica de Riemann) es una familia de seminormas que convierten a   en un espacio de Fréchet.

En espacios de funciones holomorfasEditar

  • Sea   el espacio de funciones enteras (en todas partes holomorfas) en el plano complejo. Entonces la familia de seminormas

 
convierte   en un espacio Fréchet.
  • Sea   el espacio de funciones enteras (holomorfas en todas partes) de tipo exponencial   Entonces, la familia de seminormas

 
convierte   en un espacio de Fréchet.
No todos los espacios vectoriales con métricas invariantes de traducción completas son espacios de Fréchet. Un ejemplo es el espacio   con  
Aunque este espacio no es localmente convexo, es un F-espacio.

Propiedades y otras nocionesEditar

Si un espacio de Fréchet admite una norma continua, entonces todas las seminormas utilizadas para definirlo pueden ser reemplazadas por normas añadiendo esta norma continua a cada una de ellas.

Un espacio de Banach,     con   compacto, y   todos admiten normas, mientras que   y   no lo hacen.

Un subespacio cerrado de un espacio de Fréchet es un espacio de Fréchet. Un cociente de un espacio de Fréchet por un subespacio cerrado es un espacio de Fréchet. La suma directa de un número finito de espacios de Fréchet es un espacio de Fréchet.

Un producto de numerosos espacios de Fréchet contables vuelve a ser siempre un espacio Fréchet. Sin embargo, un producto arbitrario de espacios de Fréchet será un espacio de Fréchet si y solo si todos "excepto algunos" de ellos son triviales (es decir, tienen dimensión 0). En consecuencia, un producto de innumerables espacios de Fréchet no triviales no puede ser un espacio de Fréchet (de hecho, dicho producto ni siquiera es metrizable porque su origen no puede tener una base de entorno contable). Entonces, por ejemplo, si   es cualquier conjunto y   es cualquier espacio de Fréchet no trivial (como  , por ejemplo), entonces el producto   es un espacio de Fréchet si y solo si   es un conjunto contable.

Varias herramientas importantes de análisis funcional que se basan en el teorema de categorías de Baire siguen siendo válidas en los espacios de Fréchet; ejemplos son el teorema de la gráfica cerrada y el teorema de la función abierta. Precisamente, el teorema de la función abierta implica que si   son topologías en   que convierten tanto   como   en espacios vectoriales topológicos completos metrizables (como los espacios de Fréchet) y si una topología es más fina o más gruesa que la otra, entonces deben ser iguales (es decir, si  ).[3]

Todo operador lineal acotado de un espacio de Fréchet a otro espacio vectorial topológico es continuo. [4]

Existe un espacio de Fréchet   que tiene un subconjunto acotado   y también un subespacio vectorial denso   tal que   no está contenido en el cierre (en  ) de ningún subconjunto acotado de  .[5]

Todos los espacios de Fréchet son reflexivos. En la teoría de los espacios estereotipados, los espacios de Fréchet son objetos duales de los espacios de Brauner.

Todos los espacios de Montel metrizables son separables.[6]​ Un espacio de Fréchet separable es un espacio de Montel si y solo si cada secuencia convergente débil-* en su dual continuo es fuertemente convergente.[6]

El espacio dual fuerte   de un espacio de Fréchet (y más generalmente, de cualquier espacio metrizable localmente convexo[7]​)   es un DF-espacio.[8]​ El dual fuerte de un espacio DF es un espacio de Fréchet.[9]​ El dual fuerte de un espacio de Fréchet reflexivo es un espacio bornológico[7]​ y un espacio de Ptak. Todo espacio de Fréchet es un espacio de Ptak. El bidual fuerte (es decir, el espacio dual fuerte del espacio dual fuerte) de un espacio metrizable localmente convexo es un espacio de Fréchet.[10]

Normas y normabilidadEditar

Si   es un espacio localmente convexo, entonces la topología de   puede ser definida por una familia de normas continuas en   (una norma es una seminorma definida positiva) si y solo si existe al menos una norma continua en  [11]

Incluso si un espacio de Fréchet tiene una topología que está definida por una familia (contable) de normas (todas las normas también son seminormas), es posible que aún no sea un espacio vectorial normado (lo que significa que su topología no puede ser definida por ninguna norma única).

El espacio de todas las secuencias   (con la topología del producto) es un espacio de Fréchet. No existe ninguna topología de Hausdorff localmente convexa en   que sea estrictamente más gruesa que esta topología del producto.[12]

El espacio   no es normable, lo que significa que su topología no puede ser definida por ninguna norma.[12]​ Además, no existe ninguna norma continua sobre  . De hecho, como muestra el siguiente teorema, siempre que   es un espacio de Fréchet en el que no existe ninguna norma continua, esto se debe enteramente a la presencia de   como subespacio.

Teorema:[12]
Sea   un espacio de Fréchet sobre el cuerpo   Entonces, las siguientes proposiciones son equivalentes:

  1.   no admite una norma continua (es decir, cualquier seminorma en   puede no ser una norma).
  2.   contiene un subespacio vectorial que es un espacio vectorial topológico isomorfo a  
  3.   contiene un subespacio vectorial complementado que es un espacio vectorial topológico isomorfo a  

Si   es un espacio de Fréchet no normable en el que existe una norma continua, entonces   contiene un subespacio vectorial cerrado que no tiene complemento topológico.[13]

Un espacio espacio localmente convexo metrizable es normable si y solo si su espacio dual fuerte es un espacio de Fréchet–Urysohn localmente convexo.[8]​ En particular, si un espacio metrizable localmente convexo   (como un espacio de Fréchet) es no normable (lo que solo puede suceder si   es de dimensión infinita), entonces su espacio dual fuerte   no es un espacio de Fréchet-Urysohn y, en consecuencia, este espacio de Hausdorff completo localmente convexo   tampoco es metrizable ni normable.

El espacio dual fuerte de un espacio de Fréchet (y más generalmente de los espacios bornológicos como los espacios vectoriales topológicos metrizables) es siempre un espacio vectorial topológico completo y, por lo tanto, como cualquier espacio vectorial topológico completo, es normable si y solo si su topología puede ser inducida por un espacio de Banach (es decir, si y solo si se puede convertir en un espacio de Banach que tenga la misma topología). Si   es un espacio de Fréchet, entonces   es normable si (y solo si) existe una norma completa en su espacio dual continuo   tal que la topología inducida por la norma en   es más fina que la topología débil-*.[14]

En consecuencia, si un espacio de Fréchet es no normal (lo que solo puede suceder si es de dimensión infinita), entonces tampoco lo es su espacio dual fuerte.

Teorema de Anderson-KadecEditar

Teorema de Anderson–Kadec:
Todo espacio de Fréchet real separable de dimensión infinita es homeomorfo a   el producto cartesiano de numerosas copias numerables de la recta real  

Debe tenerse en cuenta que el homeomorfismo descrito en el teorema de Anderson-Kadec es no necesariamente lineal.

Teorema de Eidelheit:
Un espacio de Fréchet es isomorfo a un espacio de Banach o tiene un espacio cociente isomorfo a  

Diferenciación de funcionesEditar

Si   y   son espacios Fréchet, entonces el espacio   que consta de todas las aplicaciones lineales continuas desde   hasta   no es un espacio de Fréchet de cualquier manera natural. Esta es una gran diferencia entre la teoría de los espacios de Banach y la de los espacios de Fréchet y requiere una definición diferente para la diferenciabilidad continua de las funciones definidas en los espacios de Fréchet, la derivada de Gateaux:

Supóngase que   es un subconjunto abierto de un espacio de Fréchet     es una función valorada en un espacio de Fréchet     y   La aplicación   es diferenciable en   en la dirección   si existe el límite

 

Se dice que la aplicación   es continuamente diferenciable en   si la siguiente aplicación   es continua. Dado que el producto de los espacios de Fréchet es nuevamente un espacio de Fréchet, se puede intentar diferenciar   y definir las derivadas superiores de   de esta manera.

El operador derivada   definido por   es en sí mismo infinitamente diferenciable. La primera derivada está dada por

 

para dos elementos cualesquiera   Esta es una gran ventaja del espacio de Fréchet   sobre el espacio de Banach   para   finito.

Si   es una función continuamente diferenciable, entonces la ecuación diferencial

 

no necesita tener ninguna solución, e incluso si la tiene, las soluciones no necesitan ser únicas. Este hecho está en marcado contraste con la situación en los espacios de Banach. En general, el teorema de la función inversa no es cierto en los espacios de Fréchet, aunque un sustituto parcial es el teorema de Nash-Moser.

Variedades de Fréchet y grupos de LieEditar

Se pueden definir variedades de Fréchet como espacios que "se parecen localmente" a espacios de Fréchet (al igual que las variedades ordinarias se definen como espacios que se parecen localmente a un espacio euclídeo  ), y luego se puede extender el concepto de grupo de Lie a estas variedades.

Esto es útil porque para una variedad   compacta (ordinaria) dada  , el conjunto de todos los   difeomorfismos   forma un grupo de Lie generalizado en este sentido, y este grupo de Lie captura las simetrías de  .

Algunas de las relaciones entre las álgebras de Lie y los grupos de Lie siguen siendo válidas en este contexto.

Otro ejemplo importante de un grupo de Fréchet-Lie es el grupo de bucle de un grupo de Lie compacto  , las aplicaciones suaves ( )   multiplicadas puntualmente por  [15][16]

GeneralizacionesEditar

Si se elimina el requisito de que el espacio sea localmente convexo, se obtiene los F-espacios: espacios vectoriales con métricas completas invariantes respecto a la traslación.

Los LF-espacios son límites inductivos contables de los espacios de Fréchet.

Véase tambiénEditar

NotasEditar

  1. Aquí el término "de Cauchy" hace referencia a la uniformidad canónica que poseen todos los espacios vectoriales topológicos. Es decir, una secuencia   en un espacio vectorial topológico   es de Cauchy si y solo si para todos los entornos   del origen en     siempre que   y   sean suficientemente grandes. Debe tenerse en cuenta que esta definición de una secuencia de Cauchy no depende de ninguna métrica en particular y ni siquiera requiere que   sea metrizable.
  2. Algunos autores no incluyen la convexidad local como parte de la definición de un espacio de Fréchet.

ReferenciasEditar

  1. a b c d Narici y Beckenstein, 2011, p. 93.
  2. Narici y Beckenstein, 2011, p. 472.
  3. Trèves, 2006, pp. 166–173.
  4. Trèves, 2006, p. 142.
  5. Wilansky, 2013, p. 57.
  6. a b Schaefer y Wolff, 1999, pp. 194-195.
  7. a b Schaefer y Wolff, 1999, p. 154.
  8. a b Gabriyelyan, S.S. "On topological spaces and topological groups with certain local countable networks (2014)
  9. Schaefer y Wolff, 1999, p. 196.
  10. Schaefer y Wolff, 1999, pp. 154-155.
  11. Jarchow, 1981, p. 130.
  12. a b c Jarchow, 1981, pp. 129-130.
  13. Schaefer y Wolff, 1999, pp. 190-202.
  14. «The dual of a Fréchet space.». 24 de febrero de 2012. Consultado el 26 de abril de 2021. 
  15. Sergeev, 2010
  16. Pressley y Segal, 1986

BibliografíaEditar