Espacio de Hausdorff

Axiomas de separación
en espacios topológicos
T0
T1
T2
T
completamente T2
T3
T
T4
T5
T6

En topología, un espacio de Hausdorff, separado o es un espacio topológico en el que puntos distintos tienen entornos disjuntos.

Los espacios de Hausdorff se llaman así en honor de Felix Hausdorff, uno de los fundadores de la topología. La definición original de Hausdorff de un espacio topológico (de 1914) incluía la propiedad de Hausdorff como axioma.

Todo espacio métrico (y por lo tanto todo espacio normado) es un espacio de Hausdorff.

DefinicionesEditar

Se dice que dos puntos   e   de un espacio topológico   cumplen la propiedad de Hausdorff si existen dos entornos   de   y   de   tales que  .

Se dice que un espacio topológico es un espacio de Hausdorff (o que verifica la propiedad de Hausdorff, o que es separado o que es  ) si todo par de puntos distintos del espacio verifican la propiedad de Hausdorff.

(Obsérvese que si x = y, x e y no verifican la propiedad de Hausdorff.)

Principales propiedades de los Espacios de HausdorffEditar

  • Todo espacio de Hausdorff es también de Fréchet o T1, y por lo tanto también es un espacio T D y también un espacio de Kolmogórov o  .
  • Así pues, por ser  , todo conjunto unitario es cerrado (para todo punto el conjunto formado por solo ese punto {p} es un conjunto cerrado).
  • En un espacio de Hausdorff, las sucesiones convergentes convergen a un único punto.[1]
  • Los subespacios de un T2 son T2 (se hereda).[2]
  • Los espacios cocientes de espacios Hausdorff pueden ser no Hausdorff. De hecho, todo espacio topológico puede construirse como el cociente de espacios de Hausdorff.[3]
  • Todo espacio métrico es de Hausdorff.[1]
  • En un espacio de Hausdorff, los puntos distintos son topológicamente distinguibles.[4]

Ejemplos y ContraejemplosEditar

  1. Todo Espacio Métrico   es Hausdorff. Demostración: Para que sea Hausdorff basta con probar que para todos los puntos x e y ( ) existen 2 abiertos  ,   ( ) disjuntos (es decir  ). Esto es trivial pues los espacios métricos están dotados de una distancia (por definición) y podemos elegir abiertos tales que si   con   donde  , luego existen esos abiertos  ,  y claramente  .
  2. El conjunto de los números Reales con la topología usual  . La demostración es igual a la anterior pues se da que la topología usual sobre   es la topología inducida por la distancia usual,  .
  3. Cualquier conjunto no vacío con la topología trivial   donde   no es de Haussdorf, pues cualquier abierto que contenga al punto   ha de ser el total, que contendrá a   lo que hace imposible separarlos en abiertos disjuntos.
  4. Un conjunto X con la topología discreta  . Demostración: Basta con aplicar la definición de topología discreta, sabemos que en   todo elemento   con   es un conjunto abierto, luego se da que es totalmente disconexa, veamos si cumple Hausdorff: ¿Para todo par de puntos x,y   existen dos abiertos   disjuntos? Sí pues todo elemento   es abierto. Fin de la demostración.
  5. Un conjunto no numerable   con la topología conumerable   no es Hausdorff. La topología conumerable es la siguiente:   luego tenemos que ver que para todo par de puntos     existen dos abiertos   disjuntos. No es posible que la intersección sea vacía, pues si lo fuese  . Esto es imposible, pues   y   son conjuntos numerables (por ser   y   abiertos de la topología) y su unión también es numerable, pero   es no numerable, lo que contradice que los abiertos puedan ser disjuntos y por tanto convirtiendo a   en un espacio que no es de Hausdorff.

Véase tambiénEditar

BibliografíaEditar

ReferenciasEditar

  1. a b Llopis, José L. (2017). «Espacio de Hausdorff». Matesfacil. ISSN 2659-8442. 
  2. Llopis, José L. «Propiedades topológicas hereditarias». Matesfacil. ISSN 2659-8442. Consultado el 10 de octubre de 2019. 
  3. Shimrat, M. (1956). «Decomposition spaces and separation properties». Quart. J. Math. 2: 128-129. 
  4. Sapiña, R. «Puntos indistinguibles». Problemas y Ecuaciones. ISSN 2659-9899.