Espacio de Schwartz

En matemáticas, un espacio de Schwartz es un espacio funcional de funciones de decrecimiento rápido. Este tipo de espacio tiene la propiedad interesante de que la transformada de Fourier es un automorfismo de este espacio. Esta propiedad permite, por dualidad, extender la definición de la transformada de Fourier a funciones generalizadas pertenecientes al espacio dual del espacio de Schwartz.

Este tipo de espacios se nombra así en honor a Laurent Schwartz. Una función del espacio de Schwartz se llama a veces función de Schwartz.

Una función gausiana bidimensional es un ejemplo de función de decrecimiento rápido, y por tanto, un elemento del espacio de Schwartz.

DefiniciónEditar

El espacio de Schwartz o espacio de funciones de decrecimiento rápido   definido sobre el espacio euclídeo   es el conjunto de funciones:

 

Donde:

  son multíndices (conjuntos ordenados de índices).
  es el conjunto de funciones reales suaves sobre  .
  es una norma definida a partir de la norma del supremo como:

 

Donde los números   son enteros positivos que satisfacen:

 

Ejemplos de funciones en Editar

  • Si  , entonces  .
  • Cualquier función suave de soporte compacto está en  .

PropiedadesEditar

  •   es un espacio de Fréchet sobre los números complejos  .
  • Por la regla de Leibniz se sigue que   es cerrado bajo la multiplicación punto a punto, es decir,  .
  • La transformada de Fourier es un automorfismo lineal acotado de   en sí mismo.
  • Para cualquier  , se tiene que   donde  ( ) es el espacio de funciones p-integrables en  . En particular, cualquier función de   es una función acotada.[1]

ReferenciaEditar

  1. Reed & Simon, 1980.
  • L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, (Distribution theory and Fourier Analysis), 2nd ed, Springer-Verlag, 1990.
  • M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics: Functional Analysis I, Revised and enlarged edition, Academic Press, 1980.