Espacio de medida

terna ordenada compuesta de un conjunto, un sigma-algebra y una medida definitiva en el mismo conjunto

Un espacio de medida es un objeto básico de la teoría de la medida, una rama de las matemáticas que estudia las nociones generalizadas de volúmenes. Contiene un conjunto subyacente, los subconjuntos de este conjunto que son factibles de medir (el σ -álgebra) y el método que se utiliza para medir (la medida). Un ejemplo importante de un espacio de medida es un espacio de probabilidad.

Un espacio medible consta de los dos primeros componentes sin una medida específica.

DefiniciónEditar

Un espacio de medida es un triple   donde[1][2]

  •   es un conjunto
  •   es un σ-álgebra en el conjunto  
  •   es una medida en  

EjemploEditar

Conjunto   . los   -álgebra en conjuntos finitos como el anterior suele ser el conjunto de potencias, que es el conjunto de todos los subconjuntos (de un conjunto dado) y se denota por  . Siguiendo esta convención, establecemos

 

En este caso simple, el conjunto de potencia se puede escribir explícitamente:

 

Como medida, defina   por

 

entonces   (por aditividad de medidas) y   (por definición de medidas).

Esto conduce al espacio de medida  . Es un espacio de probabilidad, ya que  . La medida   corresponde a la distribución de Bernoulli con  , que se utiliza, por ejemplo, para modelar un lanzamiento de moneda justo.

Clases importantes de espacios de medidaEditar

Las clases más importantes de espacios de medida se definen por las propiedades de sus medidas asociadas. Esto incluye

Otra clase de espacios de medida son los espacios de medida completos.[4]

ReferenciasEditar

  1. a b Kosorok, Michael R. (2008). Introduction to empirical processes and semiparametric inference. Springer. p. 83. ISBN 978-0-387-74978-5. OCLC 233972325. 
  2. Klenke, Achim (2008). Probability Theory (en inglés). Springer London. ISBN 978-1-84800-047-6. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. 
  3. Hazewinkel, Michiel. (©1988-©1994). Encyclopaedia of mathematics : an updated and annotated translation of the Soviet "Mathematical encyclopaedia". Reidel. ISBN 1-55608-010-7. OCLC 16755499. 
  4. Klenke, Achim (2008). Probability Theory (en inglés). Springer London. p. 33. ISBN 978-1-84800-047-6. doi:10.1007/978-1-84800-048-3.