Diferencia entre dos números primos consecutivos

En este artículo se utiliza la notación matemática técnica para los logaritmos. Todas las instancias de log(x) sin una base de subíndice deben interpretarse como un logaritmo natural, también escrito comúnmente como ln(x) o loge(x).

Se define la diferencia entre dos números primos consecutivos, o de forma más compacta, el espacio entre primos consecutivos o el hueco entre primos consecutivos, como la separación existente entre dos números primos sucesivos. El n-ésimo espacio entre primos consecutivos, denotado como g_n o g(p_n), es la diferencia entre el (n + 1)-ésimo y el n-ésimo número primo, es decir,

Función de densidad de probabilidad del espacio entre primos consecutivos para los números primos hasta 1 millón. Los picos se producen en los múltiplos de 6.​

$g_{n}=p_{n+1}-p_{n}.\$

Se tiene que g₁ = 1, g₂ = g₃ = 2 y g₄ = 4. La sucesión entera (g_n) de los espacios entre números primos consecutivos ha sido ampliamente estudiada, aunque muchas cuestiones y conjeturas en las que interviene siguen sin respuesta.

Los primeros 60 espacios entre primos consecutivos son:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2, ... (sucesión A001223 en OEIS).

Por la definición de g_n, cada número primo puede escribirse como

$p_{n+1}=2+\sum _{i=1}^{n}g_{i}.$

Observaciones simples

El primer, más pequeño y único hueco entre primos impar es el hueco de tamaño 1 entre 2, el único número primo par, y 3, el primer primo impar. Todos los demás huecos entre primos son pares. Solo hay un par de huecos consecutivos de longitud 2: los huecos g₂ y g₃ entre los primos 3, 5 y 7.

Para cualquier número entero n, el factorial n! es el producto de todos los números enteros positivos hasta n inclusive. Entonces, en la sucesión

$n!+2,\;n!+3,\;\ldots ,\;n!+n$

el primer término es divisible por 2, el segundo término es divisible por 3, y así sucesivamente. Por lo tanto, forman una sucesión de n − 1 números enteros compuestos consecutivos, y debe pertenecer a un espacio entre primos que tenga un valor de al menos n. De ello se deduce que hay huecos entre primos consecutivos que son arbitrariamente grandes, es decir, para cualquier número entero N, hay un número entero m tal que g_m ≥ N.

Sin embargo, los huecos entre primos consecutivos de valor n pueden presentarse en números mucho más pequeños que n!. Por ejemplo, el primer espacio entre primos consecutivos mayor que 14 aparece entre los primos 523 y 541, mientras que 15! es un número mucho más grande (1.307.674.368.000).

El hueco promedio entre primos consecutivos aumenta de igual forma que el logaritmo natural de estos primos, y por lo tanto la razón del hueco entre primos y los primos involucrados disminuye (y tiende asintóticamente a cero). Esto es una consecuencia del teorema de los números primos. Desde un punto de vista heurístico, se espera que la probabilidad de que la razón de la longitud del espacio con respecto al logaritmo natural sea mayor o igual que un número positivo fijo k sea e^−k. En consecuencia, la razón puede ser arbitrariamente grande. De hecho, la razón del hueco con respecto al número de dígitos de los enteros involucrados aumenta sin límite. Esto es una consecuencia de un resultado de Westzynthius.​

En la dirección opuesta, la conjetura de los números primos gemelos postula que g_n= 2 para una cantidad infinita de enteros n.

Resultados numéricos

Normalmente, la razón de ${\textstyle {\frac {g_{n}}{\ln(p_{n})}}}$ se denomina mérito del espacio entre primos g_n. De manera informal, el mérito de un espacio entre primos g_n puede considerarse como la razón del tamaño del espacio entre primos en comparación con los tamaños promedio de los espacios primos en la vecindad de p_n.

El espacio entre primos más grande conocido con extremos primos probables identificados tiene una longitud de 16.045.848, con primos probables de 385.713 dígitos y mérito M = 18.067, encontrado por Andreas Höglund en marzo de 2024.​ El mayor valor conocido de un espacio entre primos con primos probados como extremos tiene un valor de 1.113.106 y un mérito de 25,90, con primos de 18.662 dígitos encontrados por P. Cami, M. Jansen y J. K. Andersen.​​

Es septiembre de 2022, el mayor valor de mérito conocido y el primero con mérito superior a 40, según lo descubierto por la red Gapcoin, es 41,93878373, con el primo de 87 dígitos. El valor del espacio entre primos entre este y el siguiente primo es 8350.​​

Mayores valores de mérito conocidos (en octubre de 2020)​​​​

Mérito	gn	Dígitos	pn	Fecha	Descubridor
41,938784	08350	0087	véase párrafo anterior	2017	Gapcoin
39,620154	15900	0175	3483347771 × 409#/0030 − 7016	2017	Dana Jacobsen
38,066960	18306	0209	0650094367 × 491#/2310 − 8936	2017	Dana Jacobsen
38,047893	35308	0404	0100054841 × 953#/0210 − 9670	2020	Seth Troisi
37,824126	08382	0097	0512950801 × 229#/5610 − 4138	2018	Dana Jacobsen

La razón de Cramér–Shanks–Granville es la razón de g_n / (ln(p_n))².​ Si se descartn los valores anómalamente altos de la razón para los primos 2, 3, 7, entonces el mayor valor conocido de esta razón es 0,9206386 para el primo 1693182318746371. Otros términos del registro se pueden encontrar en A111943.

Se dice que g_n es un espacio máximo, si g_m < g_n para todo m < n. Desde octubre de 2024, el espacio máximo entre primos más grande conocido tiene una longitud de 1676, y fue hallado por Brian Kehrig. Es el 83º espacio máximo entre primos consecutivos, y se encuentra después del primo 20733746510561442863.​ Otros tamaños de espacio (máximos) de registro se pueden encontrar en A005250, con los primos correspondientes p_n en A002386, y los valores de n en A005669. Se supone que la sucesión de espacios máximos hasta el primo $n$ tiene aproximadamente $2\ln n$ términos.​

Los «83 espacios máximos entre primos consecutivos» conocidos

Espacios del 1 al 28 # gn pn 1 1 2 2 2 3 3 4 7 4 6 23 5 8 89 6 14 113 7 18 523 8 20 887 9 22 1.129 10 34 1.327 11 36 9.551 12 44 15.683 13 52 19.609 14 72 31.397 15 86 155.921 16 96 360.653 17 112 370.261 18 114 492.113 19 118 1.349.533 20 132 1.357.201 21 148 2.010.733 22 154 4.652.353 23 180 17.051.707 24 210 20.831.323 25 220 47.326.693 26 222 122.164.747 27 234 189.695.659 28 248 191.912.783

Espacios del 29 al 56 # gn pn 29 250 387.096.133 30 282 436.273.009 31 288 1.294.268.491 32 292 1.453.168.141 33 320 2.300.942.549 34 336 3.842.610.773 35 354 4.302.407.359 36 382 10.726.904.659 37 384 20.678.048.297 38 394 22.367.084.959 39 456 25.056.082.087 40 464 42.652.618.343 41 468 127.976.334.671 42 474 182.226.896.239 43 486 241.160.624.143 44 490 297.501.075.799 45 500 303.371.455.241 46 514 304.599.508.537 47 516 416.608.695.821 48 532 461.690.510.011 49 534 614.487.453.523 50 540 738.832.927.927 51 582 1.346.294.310.749 52 588 1.408.695.493.609 53 602 1.968.188.556.461 54 652 2.614.941.710.599 55 674 7.177.162.611.713 56 716 13.829.048.559.701

Espacios del 57 al 83 # gn pn 57 766 19.581.334.192.423 58 778 42.842.283.925.351 59 804 90.874.329.411.493 60 806 171.231.342.420.521 61 906 218.209.405.436.543 62 916 1.189.459.969.825.483 63 924 1.686.994.940.955.803 64 1.132 1.693.182.318.746.371 65 1.184 43.841.547.845.541.059 66 1.198 55.350.776.431.903.243 67 1.220 80.873.624.627.234.849 68 1.224 203.986.478.517.455.989 69 1.248 218.034.721.194.214.273 70 1.272 305.405.826.521.087.869 71 1.328 352.521.223.451.364.323 72 1.356 401.429.925.999.153.707 73 1.370 418.032.645.936.712.127 74 1.442 804.212.830.686.677.669 75 1.476 1.425.172.824.437.699.411 76 1.488 5.733.241.593.241.196.731 77 1.510 6.787.988.999.657.777.797 78 1.526 15.570.628.755.536.096.243 79 1.530 17.678.654.157.568.189.057 80 1.550 18.361.375.334.787.046.697 81 1.552 18.470.057.946.260.698.231 82 1.572 18.571.673.432.051.830.099 83 1.676 20.733.746.510.561.442.863

Resultados adicionales

Límites superiores

El postulado de Bertrand, demostrado en 1852, establece que siempre hay un número primo entre k y 2k, por lo que en particular p_n +1 < 2p_n, lo que significa que g_n < p_n .

El teorema de los números primos, demostrado en 1896, dice que la longitud media del hueco entre un primo p y el primo siguiente se aproximará asintóticamente a ln(p), el logaritmo natural de p, para primos suficientemente grandes. La longitud real del hueco puede ser mucho mayor o menor que este valor. Sin embargo, se puede deducir del teorema de los números primos que los huecos se hacen arbitrariamente más pequeños en proporción a los primos: el cociente

$\lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{p_{n}}}=0.$

en otras palabras (por la definición de límite), para cada $\epsilon >0$, hay un número $N$ tal que para todo $n>N$

$g_{n}<p_{n}\epsilon$.

Hoheisel (1930) fue el primero en demostrar la existencia de una dependencia sublineal,​ y que por lo tanto también existe una constante θ < 1 tal que

$\pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log(x)}}{\text{as}}x\to \infty ,$

demostrando por lo tanto que

$g_{n}<p_{n}^{\theta },$

para un n suficientemente grande.

Hoheisel obtuvo el valor posible de 32999/33000 para θ, mejorado a 249/250 por Heilbronn,​ y a θ = 3/4 + ε, para cualquier ε > 0, por Chudakov.​

Una mejora importante se debe a Ingham,​ quién demostró que para alguna constante positiva c,

si $\zeta (1/2+it)=O(t^{c})$ entonces $\pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log(x)}}$ para cualquier $\theta >(1+4c)/(2+4c).$

Aquí, O se refiere a la notación de la O mayúscula, ζ denota la función zeta de Riemann y π hace referencia a la función contador de números primos. Sabiendo que cualquier c > 1/6 es admisible, se obtiene que θ puede ser cualquier número mayor que 5/8.

Una consecuencia inmediata del resultado de Ingham es que siempre hay un número primo entre n³ y (n + 1)³, si n es suficientemente grande.​ La hipótesis de Lindelöf implicaría que la fórmula de Ingham es válida para cualquier número positivo c. Pero incluso esto no sería suficiente para implicar que hay un número primo entre n² y (n + 1)² para n suficientemente grande (véase la conjetura de Legendre). Para verificar esto, se necesitaría un resultado más sólido como la conjetura de Cramér.

Huxley en 1972 mostró que se puede elegir θ = 7/12 = 0.58.​

Un resultado, debido a Baker, Harman y Pintz en 2001, muestra que θ puede tomarse como 0,525.​

Lo anterior describe los límites de todos los huecos. Otro aspecto de interés es el tamaño mínimo del hueco. La conjetura de los primos gemelos afirma que siempre hay más huecos de tamaño 2, pero sigue sin demostrarse. En 2005, Daniel Goldston, János Pintz y Cem Yıldırım demostraron que

$\liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=0$

y dos años después mejoraron este resultado​ a

$\liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{{\sqrt {\log p_{n}}}(\log \log p_{n})^{2}}}<\infty .$

En 2013, Yitang Zhang demostró que

$\liminf _{n\to \infty }g_{n}<7\cdot 10^{7},$

lo que significa que hay un número infinito de huecos que no superan los 70 millones.​ El trabajo colaborativo Polymath Project para optimizar el límite de Zhang logró reducir el límite a 4680 el 20 de julio de 2013.​ En noviembre de 2013, James Maynard introdujo un nuevo refinamiento del tamiz GPY, lo que le permitió reducir el límite a 600 y también demostrar que los huecos entre primos separados por m están acotados para todos los m. Es decir, para cualquier m existe un límite Δ_m tal que p_n+m − p_n ≤ Δ_m para una cantidad infinita de n.​ Usando las ideas de Maynard, el proyecto Polymath mejoró el límite a 246;​​ asumiendo la conjetura de Elliott–Halberstam y su forma generalizada, el límite se ha reducido a 12 y 6, respectivamente.​

Límites inferiores

En 1931, Erik Westzynthius demostró que los huecos primos máximos crecen más que logarítmicamente. Es decir,​

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=\infty .$

En 1938, Robert Rankin demostró la existencia de una constante c > 0 tal que la desigualdad

$g_{n}>{\frac {c\ \log n\ \log \log n\ \log \log \log \log n}{(\log \log \log n)^{2}}}$

se cumple para infinitos valores de n, mejorando los resultados de Westzynthius y Paul Erdős. Posteriormente demostró que se puede tomar cualquier constante c < e^γ, donde γ es la constante de Euler-Mascheroni. El valor de la constante c se mejoró en 1997 a cualquier valor menor que 2e^γ.​

Paul Erdős ofreció un premio de 10.000 dólares por una demostración o refutación de que la constante c en la desigualdad anterior puede tomarse arbitrariamente grande.​ Ford–Green–Konyagin–Tao y, de forma independiente, James Maynard demostraron que esto era correcto en 2014.​​

El resultado fue mejorado aún más a

$g_{n}>{\frac {c\ \log n\ \log \log n\ \log \log \log \log n}{\log \log \log n}}$

para una cantidad infinita de valores de n por Ford–Green–Konyagin–Maynard–Tao.​

Dando continuidad al espíritu del premio original de Erdős, Terence Tao ofreció 10.000 dólares por una prueba de que c puede tomarse arbitrariamente grande en esta desigualdad.​

También se han determinado límites inferiores para cadenas de primos.​

Conjeturas sobre huecos entre primos

Función espacio entre primos

Como ya se ha comentado, el mejor límite probado para los tamaños de huecos es $g_{n}<p_{n}^{0.525}$ (para $n$ suficientemente grande, sin tenerse en consideración los valores $5-3>3^{0.525}$ o $29-23>23^{0.525}$), pero se observa que incluso los huecos máximos son significativamente más pequeños, lo que lleva a una plétora de conjeturas no probadas.

El primer grupo plantea la hipótesis de que el exponente se puede reducir a $\theta =0.5$.

La conjetura de Legendre, que afirma que siempre existe un primo entre cuadrados perfectos sucesivos implica que $g_{n}=O({\sqrt {p_{n}}})$. La conjetura de Andrica afirma que​

$g_{n}<2{\sqrt {p_{n}}}+1.$

La conjetura de Oppermann hace la afirmación más fuerte de que, para $n$ suficientemente grande (probablemente $n>30$),

$g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}.$

Todas estas conjeturas siguen sin demostrarse. Harald Cramér se acercó, demostrando​ que la hipótesis de Riemann implica que la brecha g_n satisface que

$g_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\log p_{n}),$

utilizando la cota superior asintótica. De hecho, este resultado solo necesita la hipótesis de Lindelöf más débil, si se puede aceptar un exponente infinitesimalmente mayor.​)

En el mismo artículo, conjeturó que los espacios primos son mucho más pequeños. En términos generales, la conjetura de Cramér afirma que

$g_{n}=O\!\left((\log p_{n})^{2}\right)\!,$

una tasa de crecimiento polilogarítmico más lenta que cualquier exponente $\theta >0$.

Como esto coincide con la tasa de crecimiento observada de los huecos primos, se han formulado varias conjeturas similares. La conjetura de Firoozbakht es ligeramente más fuerte, y afirma que $p_{n}^{1/n}\!$ es una función monótona de n, es decir,

$p_{n+1}^{1/(n+1)}\!<p_{n}^{1/n}{\text{for all}}n\geq 1.$

Si esta conjetura fuera cierta, entonces $g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}-1{\text{for all}}n>9.$​​ Implica una forma fuerte de la conjetura de Cramér, pero es inconsistente con las consideraciones heurísticas de Granville y Pintz​​​ que sugieren que $g_{n}>{\frac {2-\varepsilon }{e^{\gamma }}}(\log p_{n})^{2}>(1.1229-\varepsilon )(\log p_{n})^{2}$ infinitamente a menudo para cualquier $\varepsilon >0,$ donde $\gamma$ denota la constante de Euler-Mascheroni.

La conjetura de Polignac afirma que cada número par positivo k aparece como un hueco entre primos infinitamente. El caso k = 2 es el de los números primos gemelos.

La conjetura aún no ha sido probada ni refutada para ningún valor específico de k, pero las mejoras en el resultado de Zhang discutidas anteriormente prueban que es verdadera para al menos un valor (actualmente desconocido) de k ≤ 246.

Como función aritmética

La brecha g_n entre el nésimo y el (n+ 1)º número primo es un ejemplo de función aritmética. En este contexto, generalmente se denota d_n y se llama función de diferencia de primos.​ La función no es ni multiplicativa ni additiva.

Véase también

• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.
• Desigualdad de Bonse
• Foso gaussiano
• Número primo gemelo

Bibliografía

• Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory (3rd edición). Springer Science+Business Media. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001. 

Enlaces externos

• Thomas R. Nicely, Algunos resultados de la investigación computacional en números primos -- Teoría de números computacionales. Este sitio web de referencia incluye una lista de todos los números primos que aparecen por primera vez.
• Weisstein, Eric W. «Prime Gaps». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric W. «Prime Difference Function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Prime Difference Function en PlanetMath.
• Armin Shams, Re-extending Chebyshev's theorem about Bertrand's conjecture, no implica una constante "arbitrariamente grande" como otros resultados informados.
• Chris Caldwell, Gaps Between Primes; Introducción elemental
• Andrew Granville, Números primos en intervalos de longitud limitada; resumen de los resultados obtenidos hasta el momento, incluido el trabajo de James Maynard de noviembre de 2013.
• Birke Heeren, [1] Aquí encontrará las grandes brechas de números primos y un artículo sobre cómo calcular esas grandes brechas.

• Datos: Q1377044