Espacio medible

par ordenado que asocia un conjunto con un sigma-álgebra, en el que luego es posible definir una medida

En matemáticas, un espacio medible o espacio de Borel[1]​ es un objeto básico en la teoría de la medida. Consiste en un conjunto y un σ-álgebra, que define los subconjuntos que se medirán.

DefiniciónEditar

Considere un conjunto   y un σ-álgebra   en   . Entonces la tupla   se llama espacio medible.[2]

Tenga en cuenta que, a diferencia de un espacio de medida, no se necesita ninguna medida para un espacio medible.

EjemploEditar

Dado el conjunto

 

Un posible   -algebra sería

 

Entonces   es un espacio medible. Otro posible   -algebra sería el conjunto potencia en   :

 

Con esto, un segundo espacio medible en el conjunto   es dado por   .

Espacios comunes mediblesEditar

Si   es finito o infinito contable, el   -el álgebra es la mayoría de las veces la energía puesta en  , entonces  . Esto conduce al espacio medible   .

Si   es un espacio topológico, el   -el álgebra es más comúnmente el Borel   -álgebra  , entonces   . Esto conduce al espacio medible   que es común para todos los espacios topológicos, como los números reales  .

Ambigüedad con espacios BorelEditar

El término espacio Borel se usa para diferentes tipos de espacios medibles. Puede referirse a

  • cualquier espacio medible, por lo que es sinónimo de espacio medible como se define anteriormente[1]
  • un espacio medible que es Borel isomorfo a un subconjunto medible de los números reales (nuevamente con el Borel   -álgebra)[3]

ReferenciasEditar

  1. a b Hazewinkel, Michiel. (©1988-©1994). Encyclopaedia of mathematics : an updated and annotated translation of the Soviet "Mathematical encyclopaedia". Reidel. ISBN 1-55608-010-7. OCLC 16755499. 
  2. Klenke, Achim (2008). Probability Theory (en inglés). Springer London. p. 18. ISBN 978-1-84800-047-6. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. 
  3. Kallenberg, Olav (2017). Random Measures, Theory and Applications. Probability Theory and Stochastic Modelling (en inglés) 77. Springer International Publishing. p. 15. ISBN 978-3-319-41596-3. doi:10.1007/978-3-319-41598-7.