Espacio pseudométrico

En Matemáticas, y más específicamente en Topología y Análisis funcional, espacio pseudométrico es un concepto que generaliza el de espacio métrico, sustituyendo el concepto de distancia por el de pseudodistancia o pseudométrica, de tal forma que la pseudodistancia entre dos puntos distintos puede ser cero.[1]

Una pseudodistancia o, más generalmente, una familia de pseudodistancias determina en un conjunto una estructura uniforme. El espacio topológico resultante se denomina espacio de calibración o espacio gauge.

Reciprocamente, toda estructura uniforme puede ser inducida por una familia de pseudodistancias. En particular, una sola pseudodistancia es suficiente para determinar la estructura si y solo si existe un sistema fundamental de entourages numerable.

Definición y propiedadesEditar

Un espacio pseudométrico   es un par formado por un conjunto   y una función   (denominada semidistancia o pseudométrica), con valores reales no negativos, tal que para todo  ,

  1.  .
  2.   (simetría)
  3.   (desigualdad triangular)

De estas condiciones se deduce que la pseudodistancia no puede tomar valores negativos, ya que  .

Todo espacio métrico es un espacio pseudométrico. Sin embargo, en general, no se requiere que los puntos sean distinguibles; es decir, puede darse   para diferentes valores  .

Utilizando pseudodistancias en lugar de distancias se pueden trasladar fácilmente a los espacios pseudométricos algunos conceptos definidos originalmente para espacios métricos, como el de acotación de conjuntos y funciones o el de continuidad uniforme.

La suma de una familia finita de pseudodistancias   en un conjunto   es otra pseudodistancia  .

A partir de una familia numerable de pseudodistancias   definidas en el mismo conjunto   puede definirse una distancia por medio de

 

EjemplosEditar

  • Todo espacio métrico   es válido como ejemplo de espacios pseudométricos.
  • La pseudodistancia nula   definida en cualquier conjunto   determina la topología trivial.
  • Sea   el espacio de funciones   definidas en un conjunto   con valores reales, en el que se ha elegido un punto  . Este punto induce una pseudodistancia en   definida por
  para todo  
  • En un espacio vectorial  , una seminorma   induce una pseudodistancia definida por
 
  • Todo espacio de medida   puede verse como un espacio pseudométrico completo definiendo
  para todo  .

TopologíaEditar

La topología pseudométrica es la topología inducida por las bolas abiertas

 

que forman una base para la topología.[2]

Se dice que un espacio topológico es pseudometrizable si puede dotarse de una pseudodistancia tal que la topología pseudométrica coincide con la dada.

La diferencia entre pseudodistancias y distancias es esencialmente topológica. Una pseudodistancia es una distancia si y solo si la topología que genera es de Kolmogorov (es decir, puntos diferentes son topológicamente distinguibles).

Pseudodistancias y estructuras uniformesEditar

Definición de una estructura uniforme a partir de una pseudodistanciaEditar

Sea   un conjunto dotado de una pseudodistancia  . El conjunto   de imágenes inversas por d de intervalos de la forma [0,a), es un sistema fundamental de entourages para una estructura uniforme sobre  

 , siendo
 

Se dice que dicha estructura está definida o determinada por la pseudodistancia  .

Igualmente, una familia   de pseudodistancias en un conjunto  , determina una estructura uniforme que es el supremo de las estructuras definidas por cada una de ellas. Es decir, la intersección de todas las estructuras uniformes definidas en dicho conjunto   que contengan todas las estructuras individuales.

Definición de una pseudodistancia a partir de una estructura uniformeEditar

Sea   un espacio uniforme en el que se puede identificar un sistema fundamental de entourages   numerable. Se puede demostrar la existencia de otro sistema fundamental de entourages simétricos   cumpliendo   y  , donde  S∘S∘S representa un encadenamiento de entourages.

Para construir una pseudodistancia, partimos de la función  , definida por

 

Esta función es simétrica y se anula en la diagonal, pero no cumple necesariamente la desigualdad triangular. Para obtener el resultado deseado se utiliza el siguiente procedimiento.

Sea C el conjunto de todas las secuencias finitas de puntos de   que comienzan en   y terminan en  . Entonces podemos definir una pseudodistancia en   mediante

 .

La estructura uniforme determinada por esta pseudodistancia es la estructura uniforme original.

Este resultado puede generalizarse. Dada cualquier estructura uniforme en un conjunto  , es posible identificar una familia de pseudométricas que, a su vez, determine la estructura uniforme de partida.[3]

Identificación métricaEditar

Se denomina identificación métrica a la relación de equivalencia definida por   si  .

Sean

 
 

Entonces   es una métrica en   y   un espacio métrico bien definido.[4]

La identificación métrica preserva las topologías inducidas. Es decir, un subconjunto   es abierto (o cerrado) en   si y solo si   es abierto (o cerrado) en   y A es saturado, siendo   la proyección canónica que hace corresponder a cada punto de   la clase de equivalencia que lo contiene.

NotasEditar

  1. Burago, Dimitri; Burago, Yu D; Ivanof, Sergei (2001). A Course in Metric Geometry (en inglés). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2129-6. 
  2. Pseudometric topology en PlanetMath.
  3. Bourbaki, Nicolas (1974). «IX». Éléments de mathématique. Topologie générale (en francés). Hermann. ISBN 978-3-540-34399-8. 
  4. Howes, Norman R. (1995). Modern Analysis and Topology (en inglés). New York, NY: Springer. p. 27. ISBN 0-387-97986-7. Consultado el 10 de septiembre de 2012. 

ReferenciasEditar

  • von Querenburg, Boto (2001). Mengentheoretische Topologie (en alemán). Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-67790-9. 
  • Arkhangel'skii, A.V.; Pontryagin, L.S. (1990). General Topology I: Basic Concepts and Constructions Dimension Theory. Encyclopaedia of Mathematical Sciences (en inglés). Springer. ISBN 3-540-18178-4.