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Los espacios son los espacios vectoriales normados más importantes en el contexto de la teoría de la medida y de la integral de Lebesgue. Reciben también el nombre de espacios de Lebesgue por el matemático Henri Lebesgue.

DefiniciónEditar

El espacio de Banach   se construye a partir del espacio vectorial  , este segundo es un espacio vectorial pero no es un espacio de Banach. Si sobre este segundo espacio se define una cierta relación de equivalencia de tal manera que las clases de equivalencia (formadas por funciones iguales casi en todas partes) sí constituyen un espacio vectorial normado que es un espacio de Banach.

Consideremos   un espacio de medida. Se define el espacio vectorial:

 

Como el espacio de todas las funciones medibles   que cumplen:

 

Asimismo, se define el espacio   como el espacio de las funciones medibles   que verifican:

 

Es decir, aquellas funciones medibles acotadas excepto en un conjunto de medida nula. Una norma natural para definir en estos espacios sería:

 , si  , y  

Sin embargo, una aplicación así definida no resulta norma, ya que no se cumple  , pues cualquier función que sea igual a la función nula, salvo en un conjunto de medida nula, tendrá norma cero.

Así, se define la siguiente relación de equivalencia   sobre  :

   

Se prueba que efectivamente esta es una relación de equivalencia, y se define

 

i.e., el espacio vectorial cuyos elementos son las clases de equivalencia de la relación  . Considerando entonces sobre   las normas anteriormente definidas (donde   es cualquier representante de la clase de equivalencia), se prueba que   resulta ser norma y que su valor no depende del representante de la clase de equivalencia escogido. Usualmente no se hace distinción entre función y clase de equivalencia en este contexto.

PropiedadesEditar

  1.   es un espacio de Banach.
  2.   es un espacio de Hilbert, dotado del producto interno  .
  3. Si  , entonces   se tiene que  .
  4. Si   es reflexivo.
  5. Si denotamos por   al espacio de las funciones simples, se cumple que   es denso en  .
  6. Si  , el dual topológico de   es   donde   es tal que  .
  7. Si el espacio de medida es  -finito, entonces el dual de   se identifica con  .
  8. Si   es un espacio topológico localmente compacto separado, y   es una medida regular, entonces   (el espacio de las funciones continuas a soporte compacto) es denso en   con  .
  9. El espacio de las funciones infinitamente derivables en un abierto   a soporte compacto y que están en   con  , es denso en  , es decir  .

Véase tambiénEditar