Diferencia entre revisiones de «Precesión»

 

[[Archivo:Precessing-top.gif|right|frame|Movimiento de precesión de un trompo o peonza.]]

 

Un ejemplo de precesión lo tenemos en el movimiento que realiza una [[peonza]] o trompo en rotación. Cuando su eje de rotación no es vertical, la peonza posee un movimiento de «cabeceo» similar al de precesión.

Se llama '''peonza simétrica en movimiento libre''' a un sólido rígido de revolución, con dos de sus momentos de inercia principales iguales <math>I_1 = I_2 \ne I_3</math>. Como en una peonza simétrica se pueden escoger arbitrariamente los ejes 1 y 2, conviene aprovechar ese hecho para simplificar las expresiones tomando el eje 1 paralelo a la [[ángulos de Euler|línea nodal de los ángulos de Euler]] lo cual equivale a que ψ = 0.

 

 

{{Ecuación|<math>\boldsymbol{\omega} = \begin{Bmatrix} \omega_1 \\ \omega_2 \\ \omega_3 \end{Bmatrix} =

Si el cociente <math>\scriptstyle{\Delta L \over L}</math> es pequeño (e. g. menor a 5 ° en magnitud, típicamente causado por un intervalo de tiempo <math>\scriptstyle{\Delta t}</math> pequeño), el ángulo <math>\scriptstyle{\Delta \phi}</math> se puede obtener de la aproximación de la ecuación anterior mostrada a continuación:

:<math>\Delta \phi \approx {\Delta L \over L}</math>

La '''velocidad de precesión''' del giroscopio es la velocidad angular del vector <math>\scriptstyle{\mathbf L}</math> que es la misma que la del eje de rotación de este último:

: '''Velocidad de precesión''' <math>=\Omega={\Delta \phi \over \Delta t}= {M \over L}</math>

{{Ecuación|<math>d\mathbf L=\mathbf M dt</math>|4}}

 

 

El extremo del momento angular '''L''' describe una circunferencia, de radio <math>\,L\sin\phi</math>, alrededor del eje fijo ''Z'' y en un tiempo d''t'' dicho radio experimenta un desplazamiento angular dψ. La velocidad angular de precesión Ω se define como la velocidad angular con la que gira el eje ''z'' en torno al eje fijo ''Z''. Esto es

 

Obsérvese que la velocidad angular de precesión no depende del ángulo de inclinación del trompo. Esta propiedad es muy importante en el fundamento de la [[resonancia magnética nuclear]] y de sus aplicaciones.

 

Pero, ¿por qué no cae el trompo? La respuesta es que la fuerza vertical ejercida sobre él por el suelo (en el extremo O de la púa) es exactamente igual al peso del trompo, de modo que la fuerza resultante vertical es nula. La componente vertical de la cantidad de movimiento permanecerá constante pero, debido a que el momento no es nulo, el momento angular cambia con el tiempo. Si el trompo no estuviera en rotación, al abandonarlo no habría momento angular y al cabo de un intervalo de tiempo infinitesimal, d''t'', el momento angular d'''L''' adquirido, en virtud del [[par de fuerzas]] que actúa sobre él, tendría la misma dirección que el vector '''M'''; esto es, que caería. Pero si el trompo se encuentra inicialmente en rotación, la variación del

Los resultados obtenidos en nuestra discusión del movimiento del trompo son solamente aproximados. Son correctos si ω es muy grande en comparación con Ω (situación compatible con la ec. [7]). La razón es que si el trompo está precesando en torno al eje fijo vertical ''Z'' tendrá un momento angular con respecto a dicho eje, de modo que el momento angular total no será simplemente I_zzω, como supusimos. Sin embargo, si la precesión es muy lenta, el momento angular correspondiente a esa precesión puede despreciarse, como implícitamente hemos hecho en nuestros cálculos anteriores.

 

 

Para comprender el porqué de estas oscilaciones deberemos considerar el modo en que se origina el movimiento de precesión. Si inicialmente mantenemos fija la orientación del eje de rotación ''z'' (apoyando su extremo superior) el peso del trompo estará compensado por la reacción normal ''N'' en el punto O más la reacción normal en el apoyo del extremo superior del eje, de modo que resultará ser ''N'' < ''mg''. Si una vez que el trompo ha adquirido un rápido movimiento de rotación, abandonamos el eje, entonces, aún un instante después será ''N'' < ''mg'', de modo que tenemos una fuerza resultante vertical y dirigida hacia abajo. El trompo comienza a caer, pero en ese instante comienza la precesión. Como consecuencia del movimiento de caída, la púa del trompo se apoya en el suelo con más fuerza, de modo que aumenta la fuerza de reacción vertical ''N'', que finalmente llegará a ser mayor que el peso. Cuando esto sucede, el centro de masa del trompo comienza a acelerar hacia arriba. El proceso se repite, y el movimiento se compone de una precesión acompañada de una oscilación del eje de rotación hacia abajo y hacia arriba, que recibe el nombre de nutación. La nutación, al igual que la precesión, contribuye al momento angular total, pero en general su contribución es aún menor que la de la precesión.

* [[Nutación]]

* [[Movimiento de rotación|Rotación]]

* [[Ángulos de Euler]]

* [[Efecto Allais]]

=== Bibliografía ===

* Landau & Lifshitz: ''Mecánica'', Ed. Reverté, Barcelona, 1991. ISBN 84-291-4081-10

 

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