Diferencia entre revisiones de «Dependencia e independencia lineal»

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[[Archivo:Vec-indep.png|miniaturadeimagen|Vectores linealmente independientes en <math>\R^3</math> (en el espacio tridimensional).]]
[[Archivo:Vec-dep.png|miniaturadeimagen|Vectores linealmente dependientes en <math>\R^2</math> (en el plano).]]
 
En [[álgebra lineal]], un conjunto de vectores es '''linealmente independiente''' si ninguno de ellos puede ser escrito con una [[combinación lineal]] de los restantes. Por ejemplo, en '''R'''<sup>3</sup>, el conjunto de vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) es linealmente independiente, mientras que
En [[álgebra lineal]], un conjunto de [[vector]]es es '''linealmente independiente''' si ninguno de ellos puede ser escrito con una [[combinación lineal]] de los restantes. Por ejemplo, en '''R'''<sup>3</sup>, el conjunto de vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) es linealmente independiente, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo es, ya que el tercero es la suma de los dos primeros.
 
== Definición ==
 
== Significación geométrica ==
 
Geométricamente , dos vectores son independientes si no tienen la misma dirección. Esta definición supone que el vector nulo tiene todas las direcciones, en otras palabras este debe generar un área.
 
 
== Ejemplo ==
 
En el espacio tridimensional usual:
 
 
=== Método alternativo usando determinantes ===
 
Un método alternativo usa el hecho que ''n'' vectores en '''R'''<sup>''n''</sup> son linealmente independientes [[si y solo si]] el determinante de la [[matriz (matemática)|matriz]] formada por estos vectores como columnas es distinto de cero.
 
 
=== Demostración ===
 
Supongamos que ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>,..., ''a<sub>n</sub>'' son elementos de '''R''' tales que:
 
 
== Ejemplo III ==
 
Sea ''V'' el [[espacio vectorial]] de todas las [[Función matemática|funciones]] a variable real. Entonces las funciones ''e<sup>t</sup>'' y ''e''<sup>2''t''</sup> en ''V'' son linealmente independientes.
 
=== Demostración ===
 
Supongamos que ''a'' y ''b'' son dos números reales tales que:
 
En otras palabras, la función ''be''<sup>''t''</sup> debe ser independiente de ''t'', lo cual ocurre únicamente cuando ''b''&nbsp;=&nbsp;0. Por lo tanto, ''a'' es cero.
 
== TemasVéase relacionadostambién ==
* [[Combinación lineal]], [[Sistema generador]]
* [[Sistema generador]]
* [[Base (álgebra)]], [[Ortogonal|Base Ortogonal]], [[Ortonormal|Base Ortonormal]]
* [[Base (álgebra)]]
** [[Base ortonormal]]
* [[Dependencia funcional]]
 
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