Diferencia entre revisiones de «Teorema de Euclides»

Se toma un conjunto arbitrario pero finito de números primos ''p''₁, ''p''₂, ···, ''p''_''n'', y se considera el producto de todos ellos más uno, ''q''=''p''₁''p''₂ ··· ''p''_''n''+1. Este número es obviamente mayor que 1 y distinto de todos los primos ''p''_''i'' de la lista. El número ''q'' puede ser primo o compuesto. Si es primo tendremos un número primo que no está en el conjunto original. Si, por el contrario, es compuesto, entonces existirá algún factor ''p'' que divida a ''q'' (''q''=''p''_''n''+1). Suponiendo que ''p'' es alguno de los ''p''_''i'', se deduce entonces que ''p'' divide a la diferencia ''q''-''p''₁''p''₂ ··· ''p''_''n''=1, pero ningún número primo divide a 1, es decir, se ha llegado a un absurdo por suponer que ''p'' está en el conjunto original. La consecuencia es que el conjunto que se escogió no es exhaustivo, ya que existen números primos que no pertenecen a él, y esto es independiente del conjunto finito que se tome.

 

Considerense los siguientes teoremas:

 

 

Teorema 2 (Teorema de Euclides). Existe una infinidad de números primos. Demostración de Euclides. Supongamos que sólo existe un número finito de números primos, digamos p1, p2, . . . , pn. Sea N = <math>Qn i=1 pi + 1</math>. Cómo N > 1, entonces es primo o producto de primos. Como N > pi para i ∈ {1, 2, . . . , n} deducimos que N debe ser compuesto, sin embargo, ninguno de los pi divide a N, pues de hacerlo se tendría que <math> pi | N − Yn i=1 pi y por lo tanto pi | 1 </math> lo que no tiene sentido. Se ha llegado así a una contradicción al teorema 1, la cual se originó al suponer que los números primos son finitos

Existen numerosas demostraciones parecidas a ésta, que se formulan a continuación: