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=== Obra en Viena ===
En 1931 Gödel publicó sus célebres [[Teoremas de incompletitud de Gödel|teoremas de la incompletud]] en ''Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme'' (''[[Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados]]''). En dicho artículo demostró que para todo [[sistema axiomático]] [[Función computable|computable]] que sea lo suficientemente poderoso como para describir la aritmética de los [[números naturales]] (e.g. los [[axiomas de Peano]] (o [[ZFC]]), entonces:
# Si el [[sistema formal|sistema]] es [[demostración de coherencia|coherente]] no puede ser [[Completitud semántica|completo]]. (A esto generalmente se le conoce como ''el'' [[teoremas de incompletitud de Gödel|teorema de la incompletudincompletitud]]).
# La consistencia de los [[axioma]]s no puede demostrarse en el interior del [[sistema axiomático|sistema]].
Estos teoremas finalizaron medio siglo de intentos académicos (comenzando con el trabajo de [[Frege]] y culminando en los ''[[Principia Mathematica]]'' y en el [[filosofía de la matemática#formalismo|formalismo de Hilbert]]) por encontrar un conjunto de axiomas suficiente para toda la matemática. El teorema de la incompletud implica también que no toda la matemática es computable.
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