Diferencia entre revisiones de «Circunferencia inscrita y exinscrita en un triángulo»

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=== Circunferencia exinscrita ===
 
Los radios en la circunferencia exinscrita son llamados '''exradios'''.La circunferencia exinscrita al lado ''AB'' toca al lado ''AC'' extendido en ''G'', y el radio de esta circunferencia exisncrita <math>r_c</math>y su centro es <math>I_c</math>. Entonces <math>I_c G </math> es la altura de <math> \triangle ACI_c </math>, así <math> \triangle ACI_c </math> tiene área <math>\tfrac{1}{2}br_c</math>. Por un argumento similar, <math> \triangle BCI_c </math> tiene área <math>\tfrac{1}{2}ar_c</math> y <math> \triangle ABI_c </math> tiene área
<math>\tfrac{1}{2}cr_c</math>.
Por tanto: <math> \Delta = \frac{1}{2}(a+b-c)r_c = (s-c)r_c </math>.
Del mismo modo, <math> (s-a)r_a = \Delta</math> da: <math> r_a^2 = \frac{s(s-b)(s-c)}{s-a}</math> y :<math> r_a = \sqrt{ \frac{s(s-b)(s-c)}{s-a} } .</math><ref>{{harvtxt|Altshiller-Court|1952|p=79}}</ref>
 
A partir de estas fórmulas podemos ver que las circunferencias exisncritas son siempre más grandes que las circunferencias inscritas y la circunferencia exinscrita más grande es la que es tangente al lado más grande y la más chica es la tangente al lado más chico. Más lejos, combinando estas fórmulas::<ref>Baker, Marcus, "Una colección de fórmulas para el área de un triángulo plano," ''Annals of Mathematics'', part 1 in vol. 1(6), January 1885, 134-138. (See also part 2 in vol. 2(1), September 1885, 11-18.)</ref><math>\Delta=\sqrt{rr_ar_br_c}.</math>
 
La relación del área de la circunferencia inscrita al área del triángulo es menor o igual a <math>\frac{\pi}{3\sqrt{3}}</math>, con la igualdad solo para el [[Triángulo equilátero]].<ref>Minda, D., and Phelps, S., "Triangles, ellipses, and cubic polynomials", ''[[American Mathematical Monthly]]'' 115, October 2008, 679-689: Theorem 4.1.</ref>
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