Diferencia entre revisiones de «Dominio de integridad»

#<math>( J, +,\cdot) </math> siendo sus elementos los números complejos <math> x = m+ni\sqrt{5} </math> con <math>m, n</math> números enteros, ''i'', unidad imaginaria.

#<math>( K, +,\cdot) </math> siendo sus elementos los números reales <math> x = m+n\sqrt[3]{5} + p\sqrt[3]{25} </math> con <math>m, n, p</math> números enteros.<ref>Kostrikin. Op. cit.</ref>

 

== Cuerpo de cocientes de un dominio íntegro ==

Sea <math>R</math> un dominio íntegro (conmutativo y unitario). Denotamos por <math>R^*</math> al conjunto <math>R \setminus \{0\}</math>. Establecemos en el conjunto <math>R \times R^*</math> la [[Correspondencia matemática|relación]] <math>\mathcal{R}</math> definida por <math>(a,b) \mathcal{R} (c,d)</math> cuando y sólo cuando <math>a \cdot d = b \cdot c</math>. Es sencillo comprobar que <math>\mathcal{R}</math> es una [[relación de equivalencia]]. Denotaremos por <math>Q(R)</math> al [[conjunto cociente]] <math>\textstyle \frac{R \times R^*}{\mathcal{R}}</math>, y por <math>\textstyle \frac{a}{b}</math> a la [[clase de equivalencia]] del [[par ordenado]] <math>(a,b)</math>.

 

 

 

Se define la [[suma]] <math> +: Q(R) \times Q(R) \longrightarrow Q(R)</math> de la siguiente manera:

cualesquiera que sean <math>\textstyle \frac{a}{b},\frac{c}{d} \in Q(R)</math>. Es sencillo comprobar que es operación interna, asociativa, conmutativa, que tiene elemento neutro <math>\textstyle \frac{0}{1}</math> y que todo elemento <math>\textstyle \frac{a}{b} \in Q(R)</math> tiene por [[elemento simétrico]] (elemento opuesto) a <math>\textstyle - \frac{a}{b}</math>. Así, <math>(Q(R),+)</math> es un [[grupo abeliano]].

 

 

Se define la [[multiplicación]] <math> \cdot: (Q(R) \setminus \{ 0 \}) \times (Q(R) \setminus \{ 0 \}) \longrightarrow Q(R)</math> de la siguiente manera: