[[Archivo:Surface integral illustration.svg|thumb|250px|Ilustración de una superficie curvada, inmersa en <math>\R^3</math>, orientable y con borde; sobre la que se ha dibujado un conjunto de líneas coordenadas ortogonales.]]
Una '''superficie''' es de hecho un conjunto de puntos de un espacio euclídeo que forma un espacio topológico bidimensional que localmente, es decir, visto de cerca se parece al espacio euclídeo bidimensional. Así alrededor de cada punto de una superficie esta se aproxima lo suficiente por el [[espacio tangente|plano tangente]] a la superficie en dicho punto.
Una definición tradicional de superficie que alude a términos intuitivos pero con la que resulta fácil trabajar desde un punto de vista matemático fue la dada por Euclides:
{{cita|Una '''superficie''' es aquello que sólo tiene longitud y anchura.|[[Euclides]], ''[[Los Elementos]]'', Libro I, definición 5ª.}}
