Diferencia entre revisiones de «Principio de Cavalieri»

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[[FileArchivo:Cavalieri's Principle in Coins.JPG|thumb|250px|Dos pilas de monedas británicas con el mismo volumen, ilustrando el principio de Cavalieri en tres dimensiones.]]
 
En [[geometría]], el '''Principio de Cavalieri''', es una aplicación moderna del método de los indivisibles. Nombrado en referencia al matemático italiano [[Bonaventura Cavalieri]] (1598-1647), se enuncia de la manera siguiente:<ref>Howard Eves, "Two Surprising Theorems on Cavalieri Congruence", ''The College Mathematics Journal'', volume 22, number 2, March, 1991), pages 118&ndash;124</ref>{{definición|
El '''principio de Cavalieri''' (denominado en honor a su descubridor [[Bonaventura Cavalieri]] en el [[siglo XVII]]) es una ley [[Geometría|geométrica]] que enuncia la diferencia de volumen en dos [[cuerpo (geometría)|cuerpos]]. El enunciado podría ser:
* '''Caso bidimensional''': supóngase que dos regiones de un plano (figuras planas) están incluidas entre dos rectas paralelas en ese plano. Si cada recta paralela a estas dos rectas interseca ambas regiones en segmentos de línea de igual longitud, entonces las dos regiones tienen áreas iguales.
* '''Caso tridimensional''': supóngase que dos regiones del espacio tridimensional (sólidos) están incluidas entre dos planos paralelos. Si cada plano paralelo a estos dos planos interseca ambas regiones en [[Sección (geometría)|secciones transversales]] de igual área, entonces las dos regiones tienen volúmenes iguales.
}}
 
Actualmente el principio de Cavalieri se considera como un paso inicial hacia el [[integración|cálculo integral]], y aunque se usa en algunas casos, como su generalización en el [[Teorema de Fubini]], los resultados que usan el principio de Cavalieri a menudo se pueden mostrar más directamente a través de la integración. En la otra dirección, el principio de Cavalieri surgió del antiguo [[método exhaustivo|método de exhaustación]] griego, que usaba límites pero no usaba [[infinitesimal]]es.
{{definición|Si dos cuerpos tienen la misma altura y además tienen igual área en sus secciones planas realizadas a una misma altura, poseen entonces igual [[volumen]].}}
 
==Historia==
Hoy en día, en la moderna teoría de [[geometría analítica]], el principio de Cavalieri es tomado como un caso especial del [[Teorema de Fubini|Principio de Fubini]]. Cavalieri no hizo un uso extensivo del principio, empleándolo sólo en su ''Método de las indivisibles'' que expone en el año [[1635]] con la publicación de su obra ''Geometria indivisibilibus'' y también aparece en [[1647]] en su ''Exercitationes Geometricae''. Antes de principios siglo XVII sólo se podía calcular el volumen de algunos cuerpos especiales, ya tratados geométricamente, por los resultados obtenidos por el griego [[Arquímedes]] y [[Johannes Kepler|Kepler]]. La idea del cálculo de volúmenes mediante la comparación de secciones dio paso al desarrollo de los primeros pasos del [[cálculo infinitesimal]] así como de las [[integral]]es.
[[File:Bonaventura Cavalieri.jpeg|thumb|right|140px|[[Bonaventura Cavalieri]], el matemático al que el principio debe su nombre.]]
 
El principio de Cavalieri originalmente se llamó el ''método de los indivisibles'', el nombre con el que se lo conocía en el [[Renacimiento]]. Cavalieri desarrolló una teoría completa de los indivisibles, elaborada en su ''Geometria indivisibilibus continuousorum nova quadam ratione promota'' (''Geometría, avanzada de una manera nueva por los indivisibles de los continuos'', 1635) y su ''Exercitationes geometricae sex'' (''Seis ejercicios geométricos'', 1647).<ref>[[Victor J. Katz|Katz, Victor J.]] (1998), ''A History of Mathematics: An Introduction'' (2nd ed.), Addison-Wesley, p. 477.</ref>
== Ejemplos ilustrativos ==
 
En el siglo III a. C., [[Arquímedes]], utilizando un método parecido al principio de Cavalieri,<ref>[https://www.britannica.com/topic/Archimedes-Lost-Method-1084593 "Archimedes' Lost Method"]</ref> pudo determinar el volumen de una esfera dados los volúmenes de un cono y de un cilindro en su obra ''[[El método de los teoremas mecánicos]]''. En el siglo V, [[Zu Chongzhi]] y su hijo [[Zu Gengzhi]] establecieron un método similar para determinar el volumen de una esfera.<ref>{{cite book |title=Calculus: Early Transcendentals |edition=3 |first1=Dennis G. |last1=Zill |first2=Scott |last2=Wright |first3=Warren S. |last3=Wright |publisher=[[Jones & Bartlett Learning]] |year=2009 |isbn=0-7637-5995-3 |page=xxvii |url=https://books.google.com/books?id=R3Hk4Uhb1Z0C}} [https://books.google.com/books?id=R3Hk4Uhb1Z0C&pg=PR27 Extract of page 27]</ref> La transición de los indivisibles de Cavalieri a los [[infinitesimal]]es de [[Evangelista Torricelli]] y de [[John Wallis]] fue un avance importante en la historia del [[Integración|cálculo]]. Los indivisibles eran entidades de [[codimensión]] 1, por lo que se creía que una figura plana estaba hecha de una infinidad de líneas de dimensión 1. Mientras tanto, los infinitesimales eran entidades de la misma dimensión que la figura que componen; por lo tanto, una figura plana estaría hecha de "paralelogramos" de ancho infinitesimal. Aplicando la fórmula para la suma de una progresión aritmética, Wallis calculó el área de un triángulo dividiéndolo en paralelogramos infinitesimales de ancho&nbsp;1/∞.
=== Volumen del cilindro ===
 
== Ejemplos ilustrativos ==
[[Archivo:Cylinder geometry.svg|thumb|right|cilindro.]]
La sección de un [[cilindro]] proporciona un círculo si éste se hace perpendicular al eje de rotación principal del mismo, el área de dicha sección es <math>\pi r^2</math>, cuando <math>r</math> es el radio de la superficie (o de la parte interior el cilindro). Por el principio de Cavalieri el volumen del cilindro es igual al de un [[paralelepípedo]] cuando éste
posee la misma altura <math>h</math>, siempre que la sección del paralepípedo tenga la misma área y por lo tanto ambos poseen un volumen de <math>\pi r^2\cdot h</math>.
 
=== Semiesfera Esferas===
[[Archivo:sphere cavalieri.svg|500px|thumb|La sección transversal en forma de disco de la esfera tiene la misma área que la sección transversal en forma de anillo de la parte del cilindro que se encuentra "fuera" del cono.]]
[[Archivo:Cavalieri half-ball.svg|thumb|left|Sección vertical (superior) y horizontal (inferior) a través de una semiesfera.]]
La sección a lo largo de una semi-esfera de radio <math>r</math> muestra una superficie circular que si se realiza a una altura <math>h</math> paralela al horizonte, mediante el [[teorema de Pitágoras]] se obtiene un círculo de radio:
 
Si se sabe que el volumen de un [[Cono (geometría)|cono]] es <math>\frac{1}{3}\left(\text{base} \times \text{altura}\right)</math>, entonces se puede usar el principio de Cavalieri para deducir el hecho de que el volumen de una [[esfera]] es <math>\frac{4}{3}\pi r^3</math>, donde <math>r</math> es el radio.
: <math>r'=\sqrt{r^2-h^2}.</math>
 
Esto se hace de la siguiente manera: considérese una esfera de radio <math>r</math> y un cilindro de radio <math>r</math> y altura <math>r</math>. Dentro del cilindro está el cono cuyo vértice está en el centro de una base del cilindro y cuya base es la otra base del cilindro. Por el [[teorema de Pitágoras]], el plano ubicado <math>y</math> unidades sobre el "ecuador" de la esfera, interseca la esfera en un círculo de área <math>\pi\left(r^2 - y^2\right)</math>. El área de la intersección del plano con la parte del cilindro que está "fuera" del cono también es <math>\pi\left(r^2 - y^2\right)</math>. Como puede verse, el área de cada intersección del círculo con el plano horizontal ubicado a cualquier altura <math>y</math> es igual al área de la intersección del plano con la parte del cilindro que está "fuera" del cono; por lo tanto, aplicando el principio de Cavalieri, puede afirmarse que el volumen de la media esfera es igual al volumen de la parte del cilindro que está "fuera" del cono. El volumen antes mencionado del cono es <math>\frac{1}{3}</math> del volumen del cilindro, por lo que el volumen ''fuera'' del cono es <math>\frac{2}{3}</math> del volumen del cilindro. Por lo tanto, el volumen de la mitad superior de la esfera es <math>\frac{2}{3}</math> del volumen del cilindro. El volumen del cilindro es
Donde la superficie de la sección es, por lo tanto,
 
: <math>\pi\cdot(r')^2=\pi\cdot(r^2-h^2).</math>
: <math>\pitext{base} \cdot(times \text{height} = \pi r')^2 \cdot r = \pi\cdot( r^2-h^2).3</math>
 
(La "base" está expresada en unidades de "área", y la "altura" en unidades de "longitud". Área&nbsp;×&nbsp;lóngitud&nbsp;=&nbsp;volumen)
 
Por lo tanto, el volumen de la media esfera superior es <math>\frac{2}{3} \pi r^3</math> y el de toda la esfera es <math>\frac{4}{3} \pi r^3</math>.
 
===Conos y pirámides===
 
El hecho de que el volumen de cualquier [[Pirámide (geometría)|pirámide]], independientemente de la forma de la base, ya sea circular como en el caso de un cono, o cuadrada como en el caso de las pirámides egipcias, o de cualquier otra forma, es (1/3)&nbsp;&times;&nbsp;base&nbsp;&times;&nbsp;altura, puede establecerse por el principio de Cavalieri si solo se sabe que es cierto en un caso. Puede establecerse inicialmente en un solo caso dividiendo el interior de un prisma triangular en tres componentes piramidales de volúmenes iguales. Puede demostrarse la igualdad de esos tres volúmenes por medio del principio de Cavalieri.
 
De hecho, el principio de Cavalieri o un argumento infinitesimal similar es "necesario" para calcular el volumen de conos e incluso pirámides, que es esencialmente el contenido del [[Tercer problema de Hilbert]]: las pirámides y conos poliédricos no se pueden cortar y recomponer en otro sólido estándar, y en su lugar deben ser comparados por procedimientos infinitos (infinitesimales). Los antiguos griegos utilizaron diversas técnicas precursoras, como los argumentos mecánicos de Arquímedes o el [[método exhaustivo|método de exhaustación]] para calcular estos volúmenes.
 
===El problema del servilletero===
 
{{AP|Problema del servilletero}}
 
[[Archivo:sphere bands.svg|thumb|400px|Si se perfora un agujero de altura '' h '' directamente a través del centro de una esfera, el volumen de la banda restante no depende del tamaño de la esfera. Para una esfera más grande, la banda será más delgada pero más larga.]]
 
En el denominado [[problema del servilletero]], se demuestra por el principio de Cavalieri que cuando un agujero se perfora directamente en el centro de una esfera donde la banda resultante tiene una altura ''h'', sorprendentemente, el volumen del material restante no depende del tamaño de la esfera. La sección transversal del anillo es a su vez un anillo plano, cuya área es la diferencia entre las áreas de dos círculos. Según el teorema de Pitágoras, el área de uno de los dos círculos es ''π'' veces (''r''<sup>&nbsp;2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;''y''<sup>&nbsp;2</sup>), donde ''r'' es el radio de la esfera e ''y'' es la distancia desde el plano del ecuador al plano de corte, y la del otro es ''π'' veces (''r''<sup>&nbsp;2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;(''h''/2)<sup>2</sup>). Cuando se restan estas dos expresiones, el ''r''<sup>&nbsp;2</sup> se cancela; de ahí que la solución final no dependa de ''r''.
 
===Cicloides===
 
[[Archivo:Folded cycloid.svg|thumb|400px|La sección transversal horizontal de la región delimitada por dos arcos cicloidales trazados por un punto en el mismo círculo que gira en un caso en el sentido de las agujas del reloj sobre la recta situada debajo de él, y en el otro en sentido antihorario bajo la recta superior, tiene la misma longitud que la correspondiente sección transversal horizontal del círculo.]]
 
N. Reed ha demostrado <ref>N. Reed, "[[Prueba elemental]] del área bajo una cicloide", ''[[Mathematical Gazette]]'', volume 70, number 454, December, 1986, pages 290&ndash;291</ref> cómo encontrar el área delimitada por una [[cicloide]] utilizando el principio de Cavalieri. Un círculo de radio ''r'' puede rodar en el sentido de las agujas del reloj sobre una recta situada por debajo de él, o en el sentido contrario a las agujas del reloj sobre una línea por encima de él. Un punto en el círculo traza dos cicloides. Cuando el círculo ha recorrido una distancia determinada, el ángulo a través del cual habría girado en el sentido de las agujas del reloj y el que habría girado en sentido antihorario son el mismo. Los dos puntos que siguen a las cicloides están, por lo tanto, a la misma altura. La línea que los atraviesa es, por lo tanto, horizontal (es decir, paralela a las dos líneas sobre las que rueda el círculo). En consecuencia, cada sección transversal horizontal del círculo tiene la misma longitud que la sección transversal horizontal correspondiente de la región delimitada por los dos arcos de cicloide. Según el principio de Cavalieri, el círculo, por lo tanto, tiene la misma área que esa región.
 
Considérese el rectángulo que delimita un único arco de cicloide. De la definición de cicloide, tiene un ancho de {{math|2π''r''}} y una altura de {{math|2''r''}}, por lo que su área es cuatro veces el área del círculo. Calcular el área dentro de este rectángulo que se encuentra sobre el arco cicloide dividiendo el rectángulo en el punto medio donde el arco se encuentra con el rectángulo, girar una pieza 180° y superponer la otra mitad del rectángulo. El nuevo rectángulo, de área dos veces más grande que el círculo, consiste en la región "lenticular" entre dos cicloides, cuya área se calculó anteriormente como la misma que la del círculo, y las dos regiones que formaron la región por encima del arco cicloide en el rectángulo original. Por lo tanto, el área delimitada por un rectángulo sobre un único arco completo de la cicloide tiene un área igual al área del círculo, por lo que el área delimitada por el arco es tres veces el área del círculo.
 
== Cálculo de integrales ==
[[Archivo:Integral difference function.svg|thumb|right|Diferencia de la integral y diferencias de las integrales.]]
La idea subyacente tras el Principio de Cavalieri está muy relacionada con el [[cálculo integral]]. UnUna ejemplomuestra de ello puede encontrarse en el ejemplo dedel cálculo del perímetroárea decomprendida laentre seccióndos de un plano con doscurvas cuerposdadas, en el que se cumple la siguiente ecuación:
 
: <math>\int_a^b(f(x)-g(x))\,\mathrm dx=\int_a^bf(x)\,\mathrm dx-\int_a^bg(x)\,\mathrm dx</math>
 
La relación se conoce yaDado que lael superficieárea <math>A_1</math> entre las dos funciones <math>f</math> y <math>g</math> sones tan grandesgrande como lael superficieárea <math>A_2</math> bajocalculada mediante la diferencia de las funciones <math>x\mapsto f(x)-g(x)</math>;, estaentonces última<math>A_1</math> superficey es<math>A_2</math> perpendicularcumplen alel principio de cuerpoCavalieri.
 
==Véase también==
* [[Teorema de Fubini]] (el principio de Cavalieri es un caso particular del teorema de Fubini)
 
== Referencias externas ==
{{listaref}}
 
==Enlaces externos==
== Referencias externas ==
* {{MathWorld |title=Cavalieri's Principle |urlname=CavalierisPrinciple}}
* {{de icon}} [https://web.archive.org/web/20090202060633/http://dividano.de/prinzip-von-cavalieri.html Prinzip von Cavalieri]
* [http://researchspace.csir.co.za/dspace/bitstream/10204/5267/1/Grobler5_2011.pdf Integración Cavalieri]
* [http://www.walter-fendt.de/m14i/volsphere_i.htm Ejemplo del cálculo del área de una esfera]
 
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