Diferencia entre revisiones de «Teorema de Euclides»

=== Cuarta demostración ===

es llevada a cabo con la ayuda de la famosa función indicatriz de Euler. Cuarta demostración. Suponga que existe sólo una cantidad finita de números primos, digamos p1, . . . , pn y sea N = Yn i=1 pi Entonces, para todo 1 < n < N se tiene que mcd(n, N) 6= 1, es decir, n y N no son primos relativos, dada la definición de N. Aplicando ahora la definición de la función φ (el número de enteros menores o iguales a N y primos relativos con ´el) se tiene que φ(N) = 1. Por otra parte, φ es una función aritmética multiplicativa, entonces φ(N) = φ( Yn i=1 pi) = Yn i=1 (pi − 1) > 1 Es decir, 1 > 1, lo que es una contradicción. De la anterior tenemos una variante; de propiedades del máximo común divisor tenemos:

Supongamos que existe sólo una cantidad finita de números primos, digamos p1, . . . , pn y sea N = Yn i=1 pi , entonces para todo 1 < n < N se tiene que mcd(n, N) 6= 1, es decir, n y N no son primos relativos dada la definición de N. En particular ello implica que mcd(N, N − 1) 6= 1 lo que es una contradicción, pues para cualquier n ∈ Z se tiene que mcd(n, n − 1) = 1.