Diferencia entre revisiones de «Ecuación de onda»

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Línea 25:
La ecuación de onda elástica en tres dimensiones describe la propagación de onda en un medio [[elástico]] [[Sistema homogéneo|homogéneo]] [[Isotropía|isótropo]]. La mayoría de los materiales sólidos son elásticos, por lo que esa ecuación describe fenómenos tales como [[ondas sísmicas]] en la [[Tierra]] y las ondas de [[ultrasonido]] usadas para determinar defectos en los materiales. Aunque sea lineal, esta ecuación tiene una forma más compleja que las ecuaciones dadas arriba, porque debe tomar en cuenta los movimientos longitudinales y transversales:
 
:<math>\rho{ \ddot{\boldmathbf{u}}} = \boldmathbf{f} + ( \lambda + 2\mu )\nabla(\nabla \cdot \boldmathbf{u}) - \mu\nabla \times (\nabla \times \boldmathbf{u})</math>
 
Donde:
Línea 31:
: <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los supuestos [[parámetros de Lamé]] que describen las propiedades elásticas del medio.
: <math>\rho</math> es la densidad,
: <math>\boldmathbf{f}</math> es la función de entrada (fuerza motriz),
: y <math>\boldmathbf{u}</math> es el desplazamiento.
Note que en esta ecuación, la fuerza y el desplazamiento son cantidades [[Vector (física)|vectoriales]]. Esta ecuación es conocida a veces como la ecuación de onda [[Vector (física)|vectorial]].
 
Línea 77:
fue obtenida por [[Jean le Rond d'Alembert|d'Alembert]]. La ecuación de onda puede ser escrita de una forma factorizada:
 
:<math> \left[ \frac{\partpartial}{\partpartial t} - c\frac{\partpartial}{\partpartial x}\right] \left[ \frac{\partpartial}{\partpartial t} + c\frac{\partpartial}{\partpartial x}\right] u = 0.\,</math>
 
Por consiguiente, si ''F'' y ''G'' son funciones arbitrarias, cualquier suma de la forma
Línea 139:
El valor medio es aun una función de ''t'', y por lo tanto si
 
:<math> v(t,x,y,z) = \frac{\partpartial}{\partpartial t} \left( t M_{ct}[\psi] \right), \,</math>
 
entonces
Línea 197:
La teoría del valor de frontera inicial unidimensional puede ampliarse a un número arbitrario de dimensiones espaciales. Considere un dominio ''D'' en un espacio ''x'' de ''m'' dimensiones, con frontera ''B''. Entonces la ecuación de onda será satisfecha si ''x'' está en ''D'' y <math>t>0</math>. En la frontera ''B'', la solución ''u'' deberá satisfacer
 
:<math> \frac{\partpartial u}{\partpartial n} + a u =0, \,</math>
 
donde ''n'' es la normal unitaria a ''B'' que apunta hacia afuera y ''a'' es una función no negativa definida sobre ''B''. El caso en donde ''u'' desaparece en ''B'' es un caso límite cuando ''a'' se acerca al infinito. Las condiciones iniciales son
Línea 209:
en ''D'', y
 
:<math> \frac{\partpartial v}{\partpartial n} + a v =0, \,</math>
 
en ''B''.