Diferencia entre revisiones de «Derivada covariante»

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Línea 1:
[[Image:Parallel transport.png|thumb|El [[transporte paralelo]] de un vector a lo largo de una curva cerrada sobre la esfera, que al igual que el concepto de derivada covariante se basa en la noción de [[conexión (matemática)|conexión matemática]]. El ángulo <math>\alpha</math> después de recorrer una vez la curva es proporcional al área dentro de la curva.]]
La '''derivada covariante''' (<math>\scriptstyle \nabla_i</math>) es una generalización del concepto de [[derivada parcial]] (<math>\scriptstyle \part_ipartial_i</math>) que permite extender el cálculo diferencial sobre <math>\scriptstyle \R^n</math> con coordenadas cartesianas al caso de [[coordenadas curvilíneas]] en <math>\scriptstyle \R^n</math> (y también al caso todavía más general de [[variedad diferenciable|variedades diferenciables]]).
 
== Introducción ==
Línea 7:
<math>\mathbf{v}(x) = \sum_{k=1}^n v^k(x) \mathbf{e}_k(x) </math>
||left}}
Donde <math>\scriptstyle v^k</math> son las componentes del vector en dicha base. Si se usan coordenadas curvilíneas <math>\scriptstyle (x^1, \dots x^n)</math>, los vectores tangentes a las curvas coordenadas cambian de punto a punto. Eso implica que aún cuando el campo vectorial sea constante en general sus coordenadas en la base elegida no serán constantes y en general sucederá que la derivada covariante (<math>\scriptstyle \bar{\partpartial}</math>):
{{ecuación|
<math>\bar{\partpartial}_i \mathbf{v} \ne \frac{\partpartial \mathbf{v}}{\partpartial x^i} :=
\sum_{k=1}^n \frac{\partpartial v^k}{\partpartial x^i} \mathbf{e}_k </math>
||left}}
Ya que también es necesario considerar la variación de orientación de la base vectorial al pasar de un punto a otro, es decir, para evaluar la derivada (covariante) anterior necesitamos evaluar:
{{ecuación|
<math>\bar{\partpartial}_i \mathbf{v} = \frac{\bar{\partpartial} \mathbf{v}}{\bar{\partpartial} x^i} :=
\sum_{k=1}^n \frac{\partpartial v^k}{\partpartial x^i} \mathbf{e}_k + \sum_{k=1}^n v^k \frac{\bar{\partpartial} \mathbf{e}_k}{\bar{\partpartial} x^i}</math>
|1|left}}
Donde el término segundo adicional da cuenta de como cambia la base vectorial al recorrer una línea coordenada curvilínea. Es decir cuando se usan coordenadas cartesianas en <math>\scriptstyle \R^n</math> las líneas coordenadas son líneas rectas paralelas a los ejes coordenados, y de alguna manera en cada punto la base vectorial escogida para medir las coordenadas de un campo vectorial en todos los puntos están "sincronizadas". Pero en coordenadas curvilíneas al pasar de un punto a otro, los vectores tangentes a las líneas coordenadas usados como base no coindirán de un punto a otro y es necesario computar su variación al cambiar de punto. En general los vectores <math>\scriptstyle \mathbf{e}_k(x)</math> no sólo dependen del punto, es necesario especificar como se "conectan" los vectores en diferentes puntos y para ello se define una [[conexión (matemática)|conexión]] que en el caso de <math>\scriptstyle \R^n</math> puede representarse como un conjunto de coeficientes:
{{ecuación|
<math>\frac{\bar{\partpartial} \mathbf{e}_k}{\bar{\partpartial} x^i} :=
\sum_{m=1}^n \Gamma_{ki}^m \mathbf{e}_m</math>
|2|left}}
Los coeficientes <math>\scriptstyle \Gamma_{ji}^k</math> se llaman [[símbolos de Christoffel]] y definen localmente la conexión. Juntanto los resultados de {{eqnref|1}} y {{eqnref|2}} la derivada covariante parcial de un campo vectorial puede expresarse mediante:
{{ecuación|
<math>\nabla_i \mathbf{v} = \frac{\bar{\partpartial} \mathbf{v}}{\bar{\partpartial} x^i} =
\sum_{k=1}^n \frac{\partpartial v^k}{\partpartial x^i} \mathbf{e}_k + \sum_{k=1}^n \sum_{m=1}^n v^k \Gamma_{ki}^m \mathbf{e}_m</math>
|3a|left}}
Usando el [[convenio de sumación de Einstein]] y renombrando los índices la expresión anterior puede escribirse simplemente como:
Línea 49:
<math>\begin{cases} v^x = \cfrac{dx}{dt} = - v \sin \theta_0 \\
v^y = \cfrac{dy}{dt} = + v \cos \theta_0 \end{cases}, \qquad \qquad
\begin{cases} a^x = \cfrac{dv^x}{dt} = \cfrac{\partpartial v^x}{\partpartial x}\dot{x} + \cfrac{\partpartial v^x}{\partpartial y}\dot{y} = 0 \\
a^y = \cfrac{dv^y}{dt} = 0 \end{cases} </math>
||left}}
Línea 68:
{{ecuación|
<math>\begin{cases} a^\rho = \cfrac{Dv^\rho}{Dt} =
\dot{\rho}\left(\cfrac{\partpartial v^\rho}{\partpartial \rho} + \Gamma^\rho_{\rho\rho}v^\rho + \Gamma^\rho_{\rho\theta}v^\theta \right) + \dot{\theta} \left(\cfrac{\partpartial v^\rho}{\partpartial \theta} + \Gamma^\rho_{\theta\rho}v^\rho + \Gamma^\rho_{\theta\theta}v^\theta \right)= \\ = \dot{\rho}(0+0+0) + \dot{\theta} \left( v\cos(\theta-\theta_0) + 0 -\rho \cfrac{v}{\rho}\cos(\theta-\theta_0) \right)= 0
\\ a^\theta = \cfrac{Dv^\theta}{Dt} =
\dot{\rho}\left(\cfrac{\partpartial v^\theta}{\partpartial \rho} + \Gamma^\theta_{\rho\rho}v^\rho + \Gamma^\theta_{\rho\theta}v^\theta \right) +\dot{\theta}
\left(\cfrac{\partpartial v^\theta}{\partpartial \theta} + \Gamma^\theta_{\theta\rho}v^\rho + \Gamma^\theta_{\theta\theta}v^\theta \right) =\\
\dot{\rho}\left(-\cfrac{v\cos(\theta-\theta_0)}{\rho^2} + 0 + \cfrac{1}{\rho}\cfrac{v\cos(\theta-\theta_0)}{\rho} \right) +
\dot{\theta}\left(-\cfrac{v\sin(\theta-\theta_0)}{\rho} + \cfrac{1}{\rho}v\sin(\theta-\theta_0)+0 \right) = 0 \end{cases}
Línea 79:
{{ecuación|
<math>\begin{cases} a^\rho \ne \cfrac{dv^\rho}{dt} =
\cfrac{\partpartial v^\rho}{\partpartial \rho}\dot{\rho} + \cfrac{\partpartial v^\rho}{\partpartial \theta}\dot{\theta}\\
a^\theta \ne \cfrac{dv^\theta}{dt} =
\cfrac{\partpartial v^\theta}{\partpartial \rho}\dot{\rho} + \cfrac{\partpartial v^\theta}{\partpartial \theta}\dot{\theta} \end{cases} </math>
||left}}
Ya que en coordenadas polares los vectores de la base varían de punto a punto, y es por ello que sólo usando la derivada covariante se obtiene un vector de aceleración nulo tal como cabía esperar a partir del cálculo en coordenadas cartesianas.
Línea 91:
{{ecuación|
<math>\nabla_\alpha g_{\mu\nu} = 0 \Rightarrow \Gamma_{\mu\nu}^\rho = \frac{g^{\rho\sigma}}{2}
\left( \frac{\partpartial g_{\sigma\nu}}{\partpartial x^\mu} + \frac{\partpartial g_{\mu\sigma}}{\partpartial x^\nu} - \frac{\partpartial g_{\mu\nu}}{\partpartial x^\sigma} \right)</math>
||left}}
 
Línea 97:
En las secciones anteriores la discusión de la derivada covariante se ha limitado a un campo vectorial contravariante. Pero la derivada covariante puede extenderse a otros tipos de [[campo tensorial|campos tensoriales]] definidos sobre una variedad de Riemann. Para extender la definición usa el hecho de que la derivada parcial de un escalar coincide con la derivada covariante parcial de dicho escalar, es decir:
{{ecuación|
<math>\nabla_\beta \varphi := \part_partial_\beta \varphi\,</math>
||left}}
Así para calcular la derivada covariante parcial de una [[1-forma]] <math>\scriptstyle \boldsymbol\theta = \theta_\alpha dx^\alpha</math> se considera su contracción con un campo vectorial contravariante y teniendo en cuenta que la derivada covariante en una derivación para la cual vale la regla del producto:
{{ecuación|
<math>\part_partial_\beta(\theta_\alpha v^\alpha) = \nabla_\beta (\theta_\alpha v^\alpha) =
(\nabla_\beta \theta_\alpha)v^\alpha + \theta_\alpha (\nabla_\beta v^\alpha) </math>
||left}}
Línea 112:
{{ecuación|
<math>\nabla_\alpha T^{\beta_1 \dots \beta_n}_{\delta_1 \dots \delta_m} =
\frac{\partpartial T^{\beta_1 \dots \beta_n}_{\delta_1 \dots \delta_m}}{\partpartial x^\alpha} + \sum_i \Gamma_{\alpha\rho}^{\beta_i} T^{\beta_1 \dots \rho \dots \beta_n}_{\delta_1 \dots \delta_m} - \sum_i \Gamma_{\alpha\delta_i}^{\rho} T^{\beta_1 \dots \beta_n}_{\delta_1 \dots \rho \dots \delta_m} </math>
||left}}