Diferencia entre revisiones de «Cubo de Hilbert»

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Línea 13:
Como producto de los espacios compactos de Hausdorff, el cubo de Hilbert es en sí mismo un espacio compacto de Hausdorff como resultado del teorema de Tychonoff. La compacidad del cubo de Hilbert también se puede probar sin el Axioma de elección mediante la construcción de una función continua a partir del Cantor habitual. puesta en el cubo de Hilbert.
 
En ℓ2, ningún punto tiene una vecindad compacta (por lo tanto, ℓ2 no es compacta localmente). Uno podría esperar que todos los subconjuntos compactos de 2 sean de dimensión finita.El cubo de Hilbert muestra que este no es el caso.↵PeroPero el cubo de Hilbert no es una vecindad de ningún punto p porque su lado se vuelve más y más pequeño cada dimensión, de modo que una bola abierta alrededor de p de cualquier radio fijo e> 0 debe salir del cubo en alguna dimensión.
 
Cada subconjunto del cubo de Hilbert hereda del cubo de Hilbert las propiedades de ser metrizable (y, por lo tanto, T4) y segundo contable. Es más interesante que lo contrario también se sostiene: cada segundo espacio T4 contable es homeomorfo a un subconjunto del cubo de Hilbert.