En el caso de aplicaciones de <math> \mathbb{R} </math> en <math> \mathbb{R} </math>, es corrientecomún ver que se dice que una función <math> f </math> es continua en un punto '''x<sub>1</sub>''' si existe '''f (x<sub>1</sub>)''', si existe el [[límite matemático|límite]] de '''f (x)''' cuando '''x''' tiende hacia '''x<sub>1</sub>''' por la derecha, si existe el límite de '''f (x)''' cuando '''x''' tiende hacia '''x<sub>1</sub>''' por la izquierda, y además ambos coinciden con '''f (x<sub>1</sub>)'''. Esto implicaría que, dada una función, si no está definida en un punto, ésta no es continua en él, llegando a una situación como la siguiente: La función <math>f:(0,1)\longrightarrow\mathbb{R}</math> definida como <math>f(x)=x</math> no es continua en 0 por que no está definida en dicho punto, pero tampoco es continua en 3 ni en 5. Esta definición, no satisfactoria, de continuidad está muy extendida, pero hay que recordar el requisito indispensable para poder hablar de continuidad de que el punto en el que se estudia la continuidad pertenezca al dominio. Si no está en el dominio, pero es punto de acumulación del mismo, podemos hablar de si puede o no extenderse con continuidad a dicho punto, pero no podemos decir que la función es discontinua en dicho punto (la función extendida sí podría ser discontinua, puesto que al incorporar dicho punto al dominio, tiene sentido plantearse el estudio de la continuidad en él).
