Abrir menú principal

Cambios

11 bytes eliminados ,  hace 9 meses
Esto se puede escribir en términos de límites de la siguiente manera; si ''x''<sub>0</sub> es punto del dominio de la función que es punto de acumulación del mismo, entonces ''f'' es continua en ''x''<sub>0</sub> si y sólo si <math>\lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0) </math>. Cuando ''x''<sub>0</sub> es un punto del dominio que no es de acumulación del mismo, es decir, es punto aislado del dominio, se cumple trivialmente la definición, luego toda función es continua en los puntos aislados de su dominio. Por ejemplo, las sucesiones de números reales son un caso de función real de variable real cuyo dominio es el conjunto de los números naturales. Como todos los puntos del dominio de una sucesión son puntos aislados del mismo, se concluye que toda sucesión es una función continua. Por otro lado, no tiene sentido hablar de si una función es o no continua en un punto que no pertenezca al dominio de la misma. Por ejemplo, a función f(x)=1/x es continua en todos los puntos de su dominio. En cero, como no está en el dominio, la función es discontinua
 
<b>OBSERVACIÓN IMPORTANTE:</b><br>
En el caso de aplicaciones de <math> \mathbb{R} </math> en <math> \mathbb{R} </math>, es común ver que se dice que una función <math> f </math> es continua en un punto '''x<sub>1</sub>''' si existe '''f (x<sub>1</sub>)''', si existe el [[límite matemático|límite]] de '''f (x)''' cuando '''x''' tiende hacia '''x<sub>1</sub>''' por la derecha, si existe el límite de '''f (x)''' cuando '''x''' tiende hacia '''x<sub>1</sub>''' por la izquierda, y además ambos coinciden con '''f (x<sub>1</sub>)'''. Esto implicaría que, dada una función, si no está definida en un punto, ésta no es continua en él, llegando a una situación como la siguiente: La función <math>f:(0,1)\longrightarrow\mathbb{R}</math> definida como <math>f(x)=x</math> no es continua en 0 por que no está definida en dicho punto, pero tampoco es continua en 3 ni en 5. Esta definición, no satisfactoria, de continuidad está muy extendida, pero hay que recordar el requisito indispensable para poder hablar de continuidad de que el punto en el que se estudia la continuidad pertenezca al dominio. Si no está en el dominio, pero es punto de acumulación del mismo, podemos hablar de si puede o no extenderse con continuidad a dicho punto, pero no podemos decir que la función es discontinua en dicho punto (la función extendida sí podría ser discontinua, puesto que al incorporar dicho punto al dominio, tiene sentido plantearse el estudio de la continuidad en él).
<hr />
8659

ediciones