Diferencia entre revisiones de «Número cardinal»
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Línea 77:
====Números naturales ====
El cardinal del conjunto infinito ''P'' = {''x'' ∈ <math>\mathbb{N}</math> | ''x'' es par } formado por los números pares es <math>\aleph_0</math>. Para demostrarlo basta con definir las funciones:
: <math>
\begin{array}{rccl}
f: & P & \longrightarrow & \mathbb{N} \\
& x & \mapsto & y= f(x)= \frac{x}{2}
\end{array}
\qquad
\begin{array}{rccl}
g: & \mathbb{N} & \longrightarrow & P \\
& x & \mapsto & y= g(x) = 2x
\end{array}
</math>
Demostrando la inyectividad de ambas, concluimos que ''f'' es [[Función biyectiva|biyectiva]]. La cardinalidad del conjunto es <math>\aleph_0</math>. Esto concluye la demostración. Aunque este resultado puede parecer contrario a la intuición, ya que se puede pensar que hay más naturales que pares (porque, por ejemplo, el 1 es natural y no está incluido en los pares), demostramos que estos conjuntos son equipotentes.
El conjunto de pares ordenados (o, más generalmente, de ''n''-[[tupla]]s) de números naturales tiene un cardinal <math>\aleph_0</math>. Esto se puede probar numerando los pares de números naturales anti-diagonalmente. Otro modo de demostrar es que <math>\mathbb{N} \times \mathbb{N}</math> tiene el mismo cardinal que un subconjunto infinito de los naturales:
: <math>
\begin{array}{rccl}
& x, y & \mapsto & z= g(x, y) = 3^{x}\cdot 2^{y}
\end{array}
</math>
Al ser 3 y 2 números primos, para cada par ''x'', ''y'' obtendremos un número distinto. Entonces ''g'' es inyectiva y <math>\operatorname{card}(\mathbb{N} \times \mathbb{N}) \leq \operatorname{card}(\mathbb{N})</math>
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