Diferencia entre revisiones de «Número cardinal»
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== Propiedades del cardinal de un conjunto ==
Los conjuntos pueden ser divididos en [[Clase de equivalencia|clases de equivalencia]] definidas en función de la [[relación de equivalencia]] que incluye a un par de conjuntos si y solo si entre estos existe una [[función biyectiva|biyección]].Cardinalidad de un conjunto sería la clase de equivalencia a la cual este pertenece.Tener dos conjuntos <math>A</math>, <math>B</math> con la misma cardinalidad (o sea, que pertenezcan al mismo cardinal) se denota:
: <math>
\left | A \right |
= \left | B \right |
</math>
o bien
: <math>
\# A= \# B
</math>
La existencia de una [[función inyectiva]] entre dos conjuntos también define una [[relación de orden]] entre sus cardinales; es decir:
: <math>
\le_{\#} \left | B \right | \quad \Leftrightarrow \quad \exists f:A \rightarrow B \ </math> La relación <math><_{\#}</math> excluye la posibilidad que los cardinales sean iguales.
<br />
Es posible demostrar que si
: <math>
\left | A \right |
\le_{\#} \left | B \right |
</math>
y
: <math>
\left | B \right |
\le_{\#} \left | A \right |
</math>
esto implica que:
: <math>
\left | A \right |
= \left | B \right |
</math>
El cardinal del conjunto vacío se denota convencionalmente como 0 (cero):
: <math>
</math> El primer cardinal infinito (en el sentido de que sus representantes son conjuntos infinitos) es el cardinal de los naturales, y se denota usualmente por <math>\omega</math>. Se puede también demostrar que existe una función biyectiva entre los ordinales y los cardinales de conjuntos infinitos, tal que preserva el orden en ambos conjuntos (el orden de los ordinales y el <math>\le_{\#}</math>-orden en los cardinales). Esta función, llamada <math>\aleph</math> (Álef), induce un [[relación de orden|buen orden]] en los cardinales, y de aquí proviene la notación <math>\aleph_0=\omega</math> para el primer cardinal infinito, <math>\aleph_1</math> para el siguiente, etc.
=== Cardinal del conjunto potencia ===
Existe una relación entre el cardinal de un conjunto y el [[conjunto potencia|conjunto de partes]] o conjunto potencia:
: <math>
</math> Donde <math>|P(A)|</math> es el cardinal del conjunto de partes de <math>A</math>.
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