Diferencia entre revisiones de «Elasticidad (mecánica de sólidos)»

m
Ortografía
m (Revertidos los cambios de 190.215.93.88 (disc.) a la última edición de 187.236.50.85)
Etiqueta: Reversión
m (Ortografía)
donde <math>\scriptstyle \mathcal{T}_2(\R^3)</math> denota el conjunto de tensores simétricos de segundo orden del espacio euclídeo. Si el sólido es homogéneo el valor de la función anterior no dependerá del segundo argumento.
 
La propiedad elástica de los materiales está relacionada, como se ha mencionado, con la capacidad de un sólido de sufrir '''transformaciones termodinámicas reversibles''' e independencia de la velocidad de deformación (los [[viscoelasticidad|sólidos viscoelásticos]] y los [[mecánica de fluidos|fluidos]], por ejemplo, presentan tensiones dependientes de la [[velocidad de deformación]]). Cuando sobre un sólido deformable actúan fuerzas exteriores y ésteeste se deforma se produce un trabajo de estas fuerzas que se almacena en el cuerpo en forma de energía potencial elástica y por tanto se producirá un aumento de la '''energía interna'''.
 
== Elasticidad lineal ==
* Las seis componentes del tensor de deformaciones: <math>\varepsilon_x, \varepsilon_y, \varepsilon_z\;</math> y <math> \varepsilon_{xy}, \varepsilon_{yz}, \varepsilon_{zx}\;</math>.
 
Para comprobar si se cumplen estas relaciones, formadas por 15 funciones, el siguiente paso es comprobar si las relaciones descritas hasta ahora bastan para describir completamente el estado de un cuerpo. Una condición necesaria para ello es que el número de ecuaciones disponibles coincida con el número de incógnitas. Las ecuaciones diponiblesdisponibles son:
* Las tres [[#Ecuaciones de equilibrio|ecuaciones de equilibrio]] de Cauchy.
* Las seis [[Ecuación de compatibilidad#Ecuaciones de compatibilidad en deformaciones|ecuaciones de compatibilidad]] de Saint-Venant, que aseguran que los desplazamientos y deformaciones están adecaudamenteadecuadamente relacionados.
* Las seis [[ecuación constitutiva|ecuaciones constitutivas]], para un material elástico lineal isótropo y homogéneo estas ecuaciones vienen dadas por las [[Ley de Hooke|ecuaciones de Lamé-Hooke]].
 
Estas 15 ecuaciones igualan exactamente el número de incógnitas. Un método común es sustituir las relaciones entre desplazamientos y deformaciones en las ecuaciones constitutivas, lo cual hace que se cumplan las ecuaciones de compatibilidad trivialmente. A su vez el resultado de esta sustitución se puede introducir en las ecuaciones de equilibrio de Cauchy lo cual convierte el anterior sistema en un sistema de tres ecuaciones en derivadas paracialesparciales y tres desplazamientos como incógnita.
 
De esta manera se llega a un sistema de 15 ecuaciones con 15 incógnitas. La formulación más simple para resolver el problema elástico es la llamada [[Problema elástico#El problema elástico lineal#Formulación de Navier en desplazamientos|formulación de Navier]], esta formulación reduce el sistema a un sistema de tres ecuaciones diferenciales para los desplazamientos. Esto se logra insertando en las ecuaciones de equilibrio las ecuaciones propias del material, las ecuaciones de los desplazamientos y las ecuaciones de las deformaciones podemos expresar nuestro sistema de ecuaciones en un sistema de tres ecuaciones diferenciales parciales. Si lo reducimos hacia las componentes del vector de desplazamientos llegamos a las ecuaciones de Navier:
*El tensor deformación no se relaciona linealmente con el desplazamiento <math>\mathbf{u}</math>, concretamente es una aplicación cuadrática del [[gradiente de deformación]]: <math>\mathbf{E} = (\boldsymbol\nabla \mathbf{u}^T + \boldsymbol\nabla \mathbf{u} + \boldsymbol\nabla \mathbf{u}^T\boldsymbol\nabla \mathbf{u})/2</math>.
*Para muchos materiales la ecuación constitutiva es no lineal.
*Las ecuaciones de equilibrio sobre el dominio ocupado por el sólido, escrito en términos del segundo tensor de Piola-Kirchhoff son nolinealesno lineales: <math>\mbox{div}(\boldsymbol\nabla\phi\Sigma_R) = \mathbf{b}_R</math> y <math>\nabla\phi\Sigma_R\mathbf{n}_R = \mathbf{f}_{S,R}</math>. Donde <math>\phi = \mathbf{T}_D(X^1,X^2,X^3) \in \R^3</math> es el [[difeomorfismo]] que da la relación entre los puntos antes y después de la deformación.
*En algunos casos, como las cargas muertas las fuerzas que aparecen en los segundos miembros de las ecuaciones experesadosexpresados en el dominio de referencia incluyen no linealidades, por ejemplo cuando en la configuración deformada aparece una presión normal a la superficie, eso comporta que <math>\mathbf{f}_{S,R} = -p\det(\boldsymbol\nabla\phi)[\boldsymbol\nabla\phi^{-T}]\mathbf{n}</math>
* Las condiciones de incompresibilidad, de positividad del jacobiano de la deformación, o de la inyectividad en el caso de contactos que evianevitan la autopenetración del sólido deformado también imponen ecuaciones adicionales que se expresan en forma de ecuaciones no lineales.
 
=== Deformación ===