Diferencia entre revisiones de «Principio de Cavalieri»

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Esto se hace de la siguiente manera: considérese una esfera de radio <math>r</math> y un cilindro de radio <math>r</math> y altura <math>r</math>. Dentro del cilindro está el cono cuyo vértice está en el centro de una base del cilindro y cuya base es la otra base del cilindro. Por el [[teorema de Pitágoras]], el plano ubicado <math>y</math> unidades sobre el "ecuador" de la esfera, interseca la esfera en un círculo de área <math>\pi\left(r^2 - y^2\right)</math>. El área de la intersección del plano con la parte del cilindro que está "fuera" del cono también es <math>\pi\left(r^2 - y^2\right)</math>. Como puede verse, el área de cada intersección del círculo con el plano horizontal ubicado a cualquier altura <math>y</math> es igual al área de la intersección del plano con la parte del cilindro que está "fuera" del cono; por lo tanto, aplicando el principio de Cavalieri, puede afirmarse que el volumen de la media esfera es igual al volumen de la parte del cilindro que está "fuera" del cono. El volumen antes mencionado del cono es <math>\frac{1}{3}</math> del volumen del cilindro, por lo que el volumen ''fuera'' del cono es <math>\frac{2}{3}</math> del volumen del cilindro. Por lo tanto, el volumen de la mitad superior de la esfera es <math>\frac{2}{3}</math> del volumen del cilindro. El volumen del cilindro es
 
: <math>\text{base} \times \text{heightaltura} = \pi r^2 \cdot r = \pi r^3</math>
 
(La "base" está expresada en unidades de "área", y la "altura" en unidades de "longitud". Área&nbsp;×&nbsp;lóngitudlongitud&nbsp;=&nbsp;volumen)
 
Por lo tanto, el volumen de la media esfera superior es <math>\frac{2}{3} \pi r^3</math> y el de toda la esfera es <math>\frac{4}{3} \pi r^3</math>.
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