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# Si el [[sistema formal|sistema]] es [[demostración de coherencia|coherente]] no puede ser [[Completitud semántica|completo]]. (A esto generalmente se le conoce como ''el'' [[teoremas de incompletitud de Gödel|teorema de la incompletitud]]).
# La consistencia de los [[axioma]]s no puede demostrarse en el interior del [[sistema axiomático|sistema]].
 
Estos teoremas finalizaron medio siglo de intentos académicos (comenzando con el trabajo de ...no sabemos quien, ..., Aristóteles, Llull... hasta [[Frege]] y culminando en los ''[[Principia Mathematica]]'' y en el [[filosofía de la matemática#formalismo|formalismo de Hilbert]]) por encontrar un conjunto de axiomas suficiente para toda la matemática. El teorema de la incompletud implica también que no toda la matemática es computable.
 
La idea básica del teorema de la incompletud es bastante simple. Esencialmente, Gödel construyó una fórmula que asegura ser no-demostrable para cierto sistema formal. Si fuera demostrable sería falsa, lo cual contradice el hecho de que en un sistema consistente las proposiciones demostrables son siempre verdaderas. De modo que siempre habrá por lo menos una proposición verdadera pero no demostrable. Esto es, para todo conjunto de axiomas de la aritmética [[computabilidad|construible por el hombre]] existe una fórmula que se obtiene de la aritmética pero es indemostrable en ese sistema. Sin embargo, para precisar esto Gödel necesitaba resolver varias cuestiones técnicas, tales como proposiciones de codificación y el concepto mismo de demostrabilidad en la teoría de los números naturales. Esto último lo realizó mediante un proceso denominado [[numeración de Gödel]].
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