Diferencia entre revisiones de «Seno (trigonometría)»
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En [[matemáticas]], con derecho propio en la trigonometría plana, el '''seno''' es una de las seis funciones trigonométricas, llamadas también ''funciones circulares '' <ref> A. I. Markushévich: ''Curvas maravillosas/ Números complejos y representaciones conformee/ Funciones maravillosas'' Editorial Mir, Moscú, 1988, pp 99-100</ref>, es una función real cuyo dominio es <math>\mathbb{R}</math> y su codominio el intervalo cerrado [-1;1]; se denota <math> f(x) = \sen x
== Etimología ==▼
El astrónomo y matemático hindú [[Aryabhata|Aria Bhatta]] (476–550 d. C.]]) estudió el concepto de «seno» con el nombre de ''ardhá-jya'',<ref>En el sitio [https://web.archive.org/web/20081204003039/http://centros5.pntic.mec.es/ies.de.bullas/dp/matema/conocer/etimologia.htm Centros5.Pntic.Mec.es] se refieren erróneamente a ''yia'' como '[[jiva (sánscrito)|yivá]]'', que no significa ‘cuerda’ sino ‘ser vivo’.</ref> siendo ''ardhá:'' ‘mitad, medio’, y ''jya:'' ‘cuerda’). Cuando los escritores árabes tradujeron estas obras científicas al [[idioma árabe|árabe]], se referían a este término sánscrito como ''jiba'' . Sin embargo, en el árabe escrito se omiten las vocales, por lo que el término quedó abreviado ''jb''. Escritores posteriores que no sabían el origen extranjero de la palabra creyeron que ''jb'' era la abreviatura de ''jiab'' (que quiere decir ‘bahía’).▼
* El seno es una función [[función impar]] ▼
:<math> \sen \; (-x) = -\sen (x)▼
* Función periódica, cuyo periodo es <math>2 \pi </math>▼
* Es una función [[función continua|continua]], se cumple <math>\lim_{x\to \alpha} \, \,sen x = sen \alpha </math> ▼
A finales del siglo XII, el traductor italiano [[Gerardo de Cremona]] (1114-1187) tradujo estos escritos del árabe al latín reemplazando el insensato ''jiab'' por su contraparte latina ''sinus'' (‘hueco, cavidad, bahía’).▼
* Es una [[función trascendente]] pues no se puede expresar mediante una función algebraica, sea entera, racional o irracional.▼
Luego, ese ''sinus'' se convirtió en el español «seno».<ref>{{Cita libro▼
|autor=Howard Eves▼
|título=An Introduction to the History of Mathematics (6th Edition, p.237)▼
|editorial=Saunders College Publishing House, New York▼
|año=1990▼
}}</ref>▼
Según otra explicación,{{cita requerida}} la [[cuerda (trigonometría)|cuerda]] de un círculo, se denomina en latín ''inscripta corda'' o simplemente ''inscripta''. La mitad de dicha cuerda se llama ''semis inscríptae''. Su abreviatura era ''s. ins.'', que terminó simplificada como ''sins''. Para asemejarla a una palabra conocida del latín se la denominó ''sinus''.▼
En [[trigonometría]], el '''seno''' de un [[ángulo]] <math>\alpha\,</math> de un [[triángulo rectángulo]] se define como la razón entre el [[cateto]] opuesto a dicho [[ángulo]] y la [[hipotenusa]]:▼
== Definición ==
[[Archivo:Trigono b00.svg|right|thumb|280px|El seno de α es la [[Razón (matemáticas)|razón]] <math>\tfrac{a}{c} =\tfrac{BC}{AB}</math>]]
▲En [[trigonometría]], el '''seno''' de un [[ángulo]] <math>\alpha\,</math> de un [[triángulo rectángulo]] se define como la razón entre el [[cateto]] opuesto a dicho [[ángulo]] y la [[hipotenusa]]:
:<math>\sen \alpha=\frac{a}{c} =\frac{BC}{AB}</math>
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:<math> \sen \alpha=a=BC \,</math>
Ya que <math>c=AB=1</math>.
Esta construcción permite representar el valor del seno para ángulos no agudos y funciona exactamente igual para los vectores, representando un vector <math>\vec{AB}</math> mediante su descomposición en los vectores ortogonales <math>\vec{AC}</math> y <math>\vec{CB}</math>.
▲== Etimología ==
▲El astrónomo y matemático hindú [[Aryabhata|Aria Bhatta]] (476–550 d. C.]]) estudió el concepto de «seno» con el nombre de ''ardhá-jya'',<ref>En el sitio [https://web.archive.org/web/20081204003039/http://centros5.pntic.mec.es/ies.de.bullas/dp/matema/conocer/etimologia.htm Centros5.Pntic.Mec.es] se refieren erróneamente a ''yia'' como '[[jiva (sánscrito)|yivá]]'', que no significa ‘cuerda’ sino ‘ser vivo’.</ref> siendo ''ardhá:'' ‘mitad, medio’, y ''jya:'' ‘cuerda’). Cuando los escritores árabes tradujeron estas obras científicas al [[idioma árabe|árabe]], se referían a este término sánscrito como ''jiba'' . Sin embargo, en el árabe escrito se omiten las vocales, por lo que el término quedó abreviado ''jb''. Escritores posteriores que no sabían el origen extranjero de la palabra creyeron que ''jb'' era la abreviatura de ''jiab'' (que quiere decir ‘bahía’).
El seno puede relacionarse con otras [[Función trigonométrica|funciones trigonométricas]] mediante el uso de [[identidades trigonométricas]].
▲A finales del siglo XII, el traductor italiano [[Gerardo de Cremona]] (1114-1187) tradujo estos escritos del árabe al latín reemplazando el insensato ''jiab'' por su contraparte latina ''sinus'' (‘hueco, cavidad, bahía’).
▲Luego, ese ''sinus'' se convirtió en el español «seno».<ref>{{Cita libro
▲ |autor=Howard Eves
▲ |título=An Introduction to the History of Mathematics (6th Edition, p.237)
▲ |editorial=Saunders College Publishing House, New York
▲ |año=1990
▲}}</ref>
▲Según otra explicación,{{cita requerida}} la [[cuerda (trigonometría)|cuerda]] de un círculo, se denomina en latín ''inscripta corda'' o simplemente ''inscripta''. La mitad de dicha cuerda se llama ''semis inscríptae''. Su abreviatura era ''s. ins.'', que terminó simplificada como ''sins''. Para asemejarla a una palabra conocida del latín se la denominó ''sinus''.
▲:<math> \sen \; (-x) = -\sen (x)</math>
{{Demostración|título=<math> \sen \; \alpha=\;\;\;\sen \; ( \alpha + 2 k \pi ) ,\;\; k \in \mathbb{Z}</math>|1=Por inducción ya que aplicando un número par de veces <math> \sen \; \alpha=-\sen (\alpha + \pi)</math> se llega a todos los valores de k.
}}
=== Relación entre el seno y el coseno ===
La curva del [[coseno]] es la curva del seno desplazada <math>\frac{\pi}{2}</math> a la izquierda dando lugar a la siguiente expresión:
: <math> \sen \alpha=\cos\left(\alpha- \frac{\pi}{2}\right) </math>
▲== El seno usando las otras funciones trigonométricas ==
=== En función del coseno ===
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<math> \sen \alpha = \frac{1}{\csc \alpha}</math> <ref>I. Bronshtein & K. Semendiaev: Manual de matemáticas, Editorial Mir, Moscú/ 1973, pág. 210 </ref>
=== Seno de la suma de dos ángulos ===
Línea 113 ⟶ 116:
=== Seno del ángulo mitad ===
{{Demostración|título=<math>\sen \left(\frac{\alpha}{2}\right)=\begin{cases} \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}} & \text{ si } \frac{\alpha}{2} \in [2k\pi,(2k+1)\pi) \\ -\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}} & \text{ si } \frac{\alpha}{2} \in [(2k+1)\pi,2(k+1)\pi) \end{cases}\;, \
|1=Usando las fórmulas:
Línea 158 ⟶ 161:
===Potencias de senos===
* <math> \sen^2 x = \frac{1}{2}( 1 - \cos 2x ) </math>
* <math> \sen^3 x = \frac{1}{4}(
== Seno en análisis matemático ==
* El seno es una función analítica, esto es, que tiene derivada continua de cualquier orden.▼
*Tiene una infinidad contable de ceros, donde corta al eje X.▼
* Tiene una infinidad contable de valor máximo = 1; igual cantidad contable de valor mínimo = -1.▼
* Tienen infinidad contable de puntos de inflexión.▼
* Su gráfica es cóncava hacia abajo en [2k; 2(k+1)π]▼
* Su gráfica es cóncava hacia arriba en [2(k+1)π; 2(k+2)π] <ref> Bronshtein. Op. ci pág, pág. 275 </ref>▼
=== Definición ===
La función '''seno''' puede definirse mediante un sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias:
Línea 200 ⟶ 196:
\sum^{\infin}_{n=0} \; (-1)^n \; \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
</math>
=== Propiedades ===
▲* Es una función [[función continua|continua]]
▲* Es una [[función trascendente]] pues no se puede expresar mediante una función algebraica, sea entera, racional o irracional.
▲* El seno es una función analítica, esto es, que tiene derivada continua de cualquier orden.
▲* Tiene una infinidad contable de ceros, donde corta al eje X.
▲* Tiene una infinidad contable de valor máximo = 1; igual cantidad contable de valor mínimo = -1.
▲* Tienen infinidad contable de puntos de inflexión.
▲* Su gráfica es cóncava hacia abajo en [2k; 2(k+1)π]
▲* Su gráfica es cóncava hacia arriba en [2(k+1)π; 2(k+2)π] <ref> Bronshtein. Op. ci pág, pág. 275 </ref>
== Seno en análisis complejo ==
Línea 245 ⟶ 252:
== Representación gráfica ==
<!-- [[Archivo:Trigono 010.svg|
[[Archivo:Función Trigonométrica R100.svg|
== Véase también ==
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