Diferencia entre revisiones de «Srinivasa Ramanujan»
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Durante su corta vida, Ramanujan fue capaz de compilar casi 3900 resultados independientes (en su mayoría [[identidad (matemática)|identidades]] y [[ecuación|ecuaciones]]).<ref>{{Cita libro|año=2005|título=Ramanujan's Notebooks Part V|editorial=[[Springer Science+Business Media|SpringerLink]]|isbn=0-387-94941-0|página=4|apellido=Berndt|nombre=Bruce C.}}</ref> Casi todos sus hallazgos se han demostrado válidos, aunque algunos ya eran previamente conocidos.<ref>{{Cita publicación|fecha=Lunes, 16 de agosto de 1999|título=Rediscovering Ramanujan|url=http://www.frontlineonnet.com/fl1617/16170810.htm|fechaacceso=20 de diciembre de 2012|volumen=16|página=650|ref=harv|número=17|publicación=[[Frontline (magazine)|Frontline]]}}</ref> Logró resultados que eran a la vez originales y muy poco convencionales, como los ''[[Número primo de Ramanujan|números primos de Ramanujan]]'' y la ''[[función theta de Ramanujan]]'', que a su vez han inspirado una gran cantidad de investigaciones.<ref>{{Cita publicación|fecha=June–July 2006|título=Honoring a Gift from Kumbakonam|url=http://www.ams.org/notices/200606/fea-ono.pdf|fechaacceso=23 de junio de 2007|formato=PDF|volumen=53|editorial=Mathematical Association of America|página=650|ref=harv|número=6|publicación=[[Notices of the American Mathematical Society]]|apellido=Ono|nombre=Ken|enlaceautor=Ken Ono Ken Ono}}</ref>
== Datos biográficos ==
=== Primeros años ===
[[Archivo:Ramanujanhome.jpg|miniatura|Casa de Ramanujan. Sarangapani Street, Kumbakonam]]
Ramanujan nació el 22 de diciembre de 1887 en [[Erode]], en la provincia de [[Madrás]], por entonces perteneciente al [[Imperio Británico]], en la residencia de sus abuelos maternos. Descendiente de una familia de [[brahmán (casta)|brahmanes]],<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=11}}</ref> su padre, K. Srinivasa Iyengar, trabajaba como empleado en una tienda de saris y provenía del barrio de [[Thanjavur]].<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|pp=17–18}}</ref> Su madre, Komalatammal, era un ama de casa, aficionada a cantar en un templo local.<ref>{{Harvnb|Berndt|Rankin|2001|p=89}}</ref> Vivían en una casa tradicional de la calle Sarangapani de la ciudad de Kumbakonam (la casa de la familia es actualmente un museo). Cuando Ramanujan tenía un año y medio de edad, su madre dio a luz a otro hijo llamado Sadagopan, que murió menos de tres meses después. En diciembre de 1889, Ramanujan padeció la [[viruela]], de la que pudo recuperarse a diferencia de los miles de personas en el distrito de Thanjavur que murieron de la enfermedad aquel año.<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=12}}</ref> Se trasladó con su madre a la casa de sus abuelos maternos en [[Kanchipuram]], cerca de Madrás (ahora [[Chennai]]). En noviembre de 1891, y nuevamente en 1894, su madre dio a luz a otros dos hijos, que murieron en la infancia.
El 1 de octubre de 1892, Ramanujan se matriculó en la escuela local.<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=13}}</ref> En marzo de 1894 fue trasladado a una escuela de grado medio. Después de que su abuelo materno perdiera su trabajo como oficial de la corte en Kanchipuram,<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=19}}</ref> Ramanujan y su madre regresaron a [[Kumbakonam]] y fue inscrito en la escuela primaria de Kangayan.<ref name="p14">{{Harvnb|Kanigel|1991|p=14}}</ref> Cuando su abuelo paterno murió, fue enviado de vuelta con sus abuelos maternos, quienes entonces vivían en Madrás. La escuela en Madrás no le gustaba, y el joven Ramanujan evitaba acudir a clase siempre que podía. Su familia contrató a un agente de policía local para asegurarse de que asistía a la escuela. Seis meses después, Ramanujan estaba de vuelta en Kumbakonam.<ref name="p14"/>
Dado que el padre de Ramanujan se pasaba en su trabajo la mayor parte del día, fue su madre quien cuidó de él casi en exclusiva cuando era niño. La relación entre ambos fue muy estrecha. Ella fue la que le instruyó en la tradición y en las ''[[purana]]s'' (literatura tradicional hinduista). Aprendió a cantar canciones religiosas, para asistir a las ''[[puya (hinduismo)|pujas]]'' en el templo, y a mantener determinados hábitos alimentarios propios de la cultura de los brahmanes.<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=20}}</ref> Ramanujan comenzó por fin a rendir satisfactoriamente en la escuela primaria de Kangayan. Justo antes de cumplir diez años, en noviembre de 1897, pasó sus exámenes de primaria en inglés, [[idioma tamil]], geografía y aritmética, con las mejores calificaciones del distrito.<ref name="Kanigel 1991, p25">{{Harvnb|Kanigel|1991|p=25}}</ref> Ese año, Ramanujan entró en la escuela secundaria superior de la ciudad, donde se encontró con las matemáticas formales por primera vez.<ref name="Kanigel 1991, p25"/>
Con once años, Ramanujan había agotado el conocimiento matemático de dos estudiantes universitarios que eran inquilinos en su casa. Fue más tarde cuando le prestaron un libro de trigonometría avanzada escrito por [[S. L. Loney]].<ref name="berndt9">{{Harvnb|Berndt|Rankin|2001|p=9}}</ref><ref>{{Cita libro|año=1999|título=Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work|editorial=[[American Mathematical Society]]|isbn=0-8218-2023-0|página=2|ubicación=Providence, Rhode Island|apellido=Hardy|nombre=G. H.}}</ref> Llegó a dominar por completo este libro con trece años y descubrió teoremas sofisticados por su cuenta. A los catorce años, estaba recibiendo certificados de mérito y premios académicos que continuaron durante toda su carrera escolar y también ayudaba a la dirección de la escuela colaborando en la logística de la asignación de sus 1200 estudiantes (cada uno con sus propias necesidades) a sus poco más de 35 profesores.<ref name="p27">{{Harvnb|Kanigel|1991|p=27}}</ref> Completaba los exámenes matemáticos en la mitad del tiempo asignado, y mostró una sorprendente familiaridad con la [[geometría]] y con las [[serie matemática|series infinitas]]. Ramanujan fue instruido en cómo resolver ecuaciones cúbicas en 1902 y a continuación encontró su propio método para resolver las de cuarto grado. Al año siguiente, sin saber que la ecuación de quinto grado no podía ser resuelta por radicales como había demostrado [[Évariste Galois]] setenta años antes, trató de resolverla por su cuenta.
En 1903, cuando tenía 16 años, Ramanujan obtuvo de un amigo una copia de un libro de [[G. S. Carr]] prestado en una biblioteca.<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=39}}</ref><ref>''A to Z of mathematicians'' by Tucker McElroy 2005 ISBN 0-8160-5338-3-page 221</ref> El libro, titulado ''Synopsis of Pure Mathematics'', era una colección de 5000 teoremas. Ramanujan estudió los artículos y el contenido del libro en detalle.<ref name=papers/> Este libro es generalmente reconocido como un elemento clave para despertar el genio de Ramanujan.<ref name="papers">''Collected papers of Srinivasa Ramanujan'' Srinivasa Ramanujan Aiyangar, Godfrey Harold Hardy, P. Ve?katesvara Seshu Aiyar 2000 ISBN 0-8218-2076-1 page xii</ref> Al año siguiente, había trabajado de manera independiente e investigó los [[número de Bernoulli|números de Bernoulli]] y había calculado la [[constante de Euler–Mascheroni]] con 15 decimales de precisión.<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=90}}</ref> Sus compañeros de aquella época comentaron después que ''"rara vez lo entendían"'' y que sentían por él ''"un temor respetuoso"''.<ref name="p27"/>
Cuando se graduó en la escuela secundaria en 1904, Ramanujan fue galardonado con el premio de matemáticas ''K. Ranganatha Rao'' por el director de la escuela, Krishnaswami Iyer. Iyer distinguió a Ramanujan como un estudiante sobresaliente que merecía una puntuación más alta que la máxima nota posible.<ref name="p27"/> Recibió una beca para estudiar en el ''Government Arts College'' de Kumbakonam.<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=28}}</ref><ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=45}}</ref> Sin embargo, Ramanujan estaba tan concentrado en el estudio de las matemáticas que no era capaz de dedicarse a otros asuntos, hasta el punto de que perdió la beca en el proceso de su tramitación.<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=47}}</ref> En agosto de 1905, se escapó de su casa en dirección a [[Visakhapatnam]] y se quedó en Rajahmundry<ref>{{Cita noticia|fecha=25 de diciembre de 2011|título=Ramanujan lost and found: a 1905 letter from ''The Hindu''|url=http://www.thehindu.com/arts/history-and-culture/ramanujan-lost-and-found-a-1905-letter-from-the-hindu/article2745164.ece|ubicación=Chennai, India|periódico=The Hindu}}</ref> alrededor de un mes.<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|pp=48–49}}</ref> Más tarde se matriculó en el ''Pachaiyappa's College'' de Madrás. Nuevamente destacó en matemáticas, pero tuvo problemas con otras materias como la fisiología. Ramanujan falló en su examen de ''[[Royal Society of Arts|Fellow of Arts]]'' en diciembre de 1906 y de nuevo un año más tarde. Sin un título, dejó la universidad y continuó con la investigación independiente en matemáticas. En este punto de su vida, subsistió en la pobreza extrema y estuvo a menudo al borde de la inanición.<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|pp=55–56}}</ref>
=== Edad adulta en la India ===
El 14 de julio de 1909, Ramanujan se casó con una novia de diez años de edad, Srimathi Janaki (Janakiammal) (21 de marzo de 1899 - 13 de abril de 1994)<ref>{{Harvnb|Kolata|1987|p=236}}</ref><ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=71}}</ref> procedente de Rajendram, un pueblo cercano a la estación de ferrocarril de Marudur (distrito de Karur). El padre de Ramanujan no participó en la ceremonia del matrimonio.<ref name="Janaki">{{Cita web|título=Ramanujan's wife: Janakiammal (Janaki)|url=http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/newnow/janaki.pdf|fechaacceso=10 de noviembre de 2012|editorial=Institute of Mathematical Sciences, Chennai}}</ref>
Después de la unión, Ramanujan desarrolló un [[hidrocele|hidrocele testis]], una hinchazón anormal de la membrana interna de los testículos.<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=72}}</ref> La afección pudo haber sido tratada con una operación quirúrgica de rutina que libera el fluido bloqueado en el saco escrotal, pero su familia carecía del dinero necesario para costear la operación. No fue hasta enero de 1910, cuando un médico se ofreció a hacer la cirugía gratuitamente.<ref>{{Cita libro|año=1968|título=Ramanujan Memorial Number: Letters and Reminiscences|sinpp=true|editorial=Muthialpet High School|páginas=Vol. 1, p100|ubicación=Madras|apellido=Ramanujan|nombre=Srinivasa|editor=P. K. Srinivasan}}</ref>
Después de su cirugía exitosa, Ramanujan buscó un empleo. Se quedó en casa de sus amigos mientras iba de puerta en puerta en torno a la ciudad de Madrás (actualmente Chennai) en busca de un trabajo de oficina. Para conseguir algo de dinero, fue tutor de algunos estudiantes de la ''Universidad de la Presidencia'' que se preparaban para su examen de ''First Arts''.<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=73}}</ref>
A finales de 1910, Ramanujan estaba enfermo de nuevo, posiblemente como resultado de la cirugía que se le practicó a principios de año. Temía por su salud, e incluso le llegó a encargar a su amigo, R. Radakrishna Iyer, que "''se entregasen'' [los cuadernos matemáticos de Ramanujan] ''al profesor Singaravelu Mudaliar'' [profesor de matemáticas en el Colegio de Pachaiyappa] ''o al profesor británico Edward B. Ross, del Madras Christian College''".<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|pp=74–75}}</ref> Después de que Ramanujan sanó de nuevo, recuperó sus cuadernos de Iyer y tomó un tren hacia el norte desde Kumbakonam a [[Viluppuram]], una ciudad costera por entonces bajo control francés.<ref>{{Cita libro|año=1967|título=Ramanujan: The Man and the Mathematician|url=http://books.google.com/?id=OuTuAAAAMAAJ|editorial=Asia Publishing House|ref=harv|ubicación=Bombay|apellido=Ranganathan|nombre=Shiyali Ramamrita|enlaceautor=Shiyali Ramamrita Ranganathan Shiyali Ramamrita Ranganathan}}, p. 23.</ref><ref>Srinivasan (1968), Vol. 1, p99.</ref>
==== Atención hacia las matemáticas ====
Ramanujan conoció al alto funcionario [[V. Ramaswamy Aiyer]], que había fundado recientemente la ''Sociedad Matemática de la India''.<ref name="p77">{{Harvnb|Kanigel|1991|p=77}}</ref> Deseando conseguir un trabajo en el departamento de recaudación, donde Ramaswamy Aiyer trabajaba, le mostró sus cuadernos de matemáticas. Como Ramaswamy Aiyer recordó más tarde:
{{cita|Me llamaron la atención los extraordinarios resultados matemáticos contenidos en ellos [los cuadernos]. Yo no tenía en mente ahogar su genio con un puesto en los peldaños más bajos del departamento de recaudación.<ref>Srinivasan (1968), Vol. 1, p129.</ref>}}
Ramaswamy Aiyer envió cartas de presentación de Ramanujan a sus amigos matemáticos en Madrás.<ref name="p77"/> Algunos de estos amigos vieron su trabajo y le dieron a su vez cartas de presentación para [[R. Ramachandra Rao]], recaudador del distrito de [[Nellore]] y secretario de la ''Sociedad Matemática de la India''.<ref>Srinivasan (1968), Vol. 1, p86.</ref><ref>{{Cita publicación|fecha=Domingo, 16 de enero de 1921|título=The Late Srinivasa Ramanujan|volumen=106|doi=10.1038/106661b0|bibcode=1921Natur.106..661N|páginas=661–662|ref=harv|número=2673|publicación=[[Nature (journal)|Nature]]|apellido=Neville|nombre=Eric Harold}}</ref><ref>{{Harvnb|Ranganathan|1967|p=24}}</ref> Ramachandra Rao quedó impresionado por la investigación de Ramanujan, pero dudaba de que en realidad fuera su propia obra. Ramanujan menciona una correspondencia que tuvo con el profesor Saldhana, un matemático notable de [[Mumbai|Bombay]], en la que Saldhana expresaba una falta de comprensión de su obra, pero llegaba a la conclusión de que Ramanujan no era un farsante.<ref name="p80">{{Harvnb|Kanigel|1991|p=80}}</ref> Su amigo C.V. Rajagopalachari persistió ante Ramachandra Rao y trató de sofocar cualquier duda sobre la integridad académica de Ramanujan. Rao accedió a darle otra oportunidad, y escuchó a Ramanujan disertando sobre [[integral elíptica|integrales elípticas]], [[serie hipergeométrica|series hipergeométricas]] y su teoría de [[serie matemática|series divergentes]]. Rao manifestó en última instancia que se había "convertido", y que estaba convencido de la brillantez de la matemática de Ramanujan.<ref name="p80"/> Cuando Rao le preguntó lo que quería, Ramanujan respondió que necesitaba un poco de trabajo y apoyo financiero. Rao estuvo de acuerdo y lo envió a Madrás. Continuó su investigación matemática con la ayuda financiera de Rao cuidando de sus necesidades diarias. Ramanujan, con la ayuda de Ramaswamy Aiyer, pudo publicar su trabajo en el ''Diario de la Sociedad Matemática de la India''.<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=86}}</ref>
Uno de los primeros problemas planteados en la revista fue:
: <math>\sqrt{1+2\sqrt{1+3 \sqrt{1+\cdots}}}.</math>
Esperó a que llegase una solución durante tres ediciones de la revista, más de seis meses, pero no recibió ninguna. Al final, Ramanujan facilitó la solución al problema. En la página 105 de su primer cuaderno, formuló una ecuación que se podía utilizar para resolver el problema de la sucesión infinita de radicales anidados:
: <math>X+N+A= \sqrt{ax+(n+a)^2 +x\sqrt{a(x+n)+(n+a)^2+(x+n) \sqrt{\cdots}}}</math>
Utilizando esta ecuación, la respuesta a la pregunta planteada en el ''Diario'' era simplemente 3.<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=87}}</ref>
Ramanujan escribió su primer documento formal para el ''Diario'' sobre las propiedades de los [[número de Bernoulli|números de Bernoulli]]. Una propiedad que descubrió fue que los denominadores {{OEIS|id=A027642}} de las fracciones de números de Bernoulli eran siempre divisibles por seis. También ideó un método de cálculo ''B<sub>n</sub>'' sobre la base de los números de Bernoulli anteriores. Uno de estos métodos era el siguiente:
Se observa que si ''n'' es par pero distinto de cero, entonces<br />
(i) ''B<sub>n</sub>'' es una fracción de Bernoulli y el numerador de <math>{B_n \over n}</math> en sus términos más bajos es un número primo,<br />
(ii) el denominador de '' B<sub>n</sub> '' contiene cada uno de los factores 2 y 3 una vez y solo una vez, <br />
(iii) <math>2^n(2^n-1){B_n \over n}</math> es un entero y <math>2(2^n-1)B_n\,</math> consecuentemente es un 'entero impar'.
En su documento de 17 páginas, "Algunas propiedades de los números de Bernoulli", Ramanujan formuló tres pruebas, dos corolarios y tres conjeturas.<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=91}}</ref> Ramanujan al principio redactaba sus artículos con bastantes carencias. Como el editor del 'Diario' MT Narayana Iyengar señaló:
{{cita|
Los métodos del señor Ramanujan eran tan escuetos y los textos y su presentación tan faltos de claridad y precisión, que de ordinario [un lector de matemática], poco acostumbrado a este tipo de gimnasia intelectual, apenas podía seguirle.<ref>{{Cita publicación|fecha=Miércoles, 16 de junio de 1920|título=The Late Mr. S. Ramanujan, B.A., F.R.S|volumen=12|página=83|ref=harv|número=3|publicación=Journal of the Indian Mathematical Society|apellido=Seshu Iyer|nombre=P. V.}}</ref>}}
Ramanujan escribió más tarde otro artículo y también siguió publicando problemas en el ''Diario''.<ref>Neville (March 1942), p292.</ref> A principios de 1912, consiguió un trabajo temporal en la oficina de Contabilidad General de Madrás, con un salario de 20 rupias al mes. Duró allí solo unas semanas,<ref>Srinivasan (1968), p176.</ref> solicitando entonces un puesto a las órdenes del Jefe de Contabilidad del Trust del Puerto de Madrás. En una carta de fecha 9 de febrero de 1912, Ramanujan escribió:
{{cita|
Sir,<br />
Entiendo que hay una pasantía vacante en su oficina, y le ruego que considere mi solicitud. Tengo aprobado el examen de ingreso y los estudios del First Arts, pero no he podido proseguir mis estudios debido a varias circunstancias adversas. He estado, sin embargo, dedicando todo mi tiempo a las matemáticas y a su desarrollo. Puedo decir que estoy bastante seguro de que puedo hacer justicia a mi trabajo si soy nombrado para el puesto. Me permito confiar en que va a ser lo suficientemente bondadoso como para conferirme el nombramiento.<ref>Srinivasan (1968), p31.</ref>
}}
Se adjunta a su solicitud una recomendación de [[E. W. Middlemast]], profesor de matemáticas en el ''Colegio Presidencial de Chennai'', quien escribió que Ramanujan era ''"un joven de capacidad excepcional en Matemáticas"''.<ref>Srinivasan (1968), p49.</ref> Tres semanas después de haber mandado la carta, el 1 de marzo, se enteró de que había sido aceptado como auxiliar de contabilidad, con un sueldo de 30 rupias al mes.<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=96}}</ref> En su oficina, Ramanujan completaba su trabajo fácil y rápidamente, por lo que podía pasar el tiempo restante haciendo investigación matemática. El jefe de Ramanujan, [[Francis Spring|Sir Francis Spring]], y S. Narayana Iyer, su colega que también era el tesorero de la ''Sociedad Matemática de la India'', animaron a Ramanujan en sus actividades matemáticas.
==== Contacto con matemáticos británicos ====
En la primavera de 1913, Narayana Iyer, Ramachandra Rao y [[E. W. Middlemast]] trataron de presentar el trabajo de Ramanujan a los matemáticos británicos. Un matemático, [[Micaiah John Muller Hill|M. J. M. Hill]] del [[University College de Londres]], comentó que los trabajos de Ramanujan ''"estaban llenos de agujeros"'',<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=105}}</ref> señalando que aunque Ramanujan tenía ''"un cierto gusto por las matemáticas, y un poco de habilidad"'', carecía de la formación académica y de los fundamentos necesarios para ser aceptado por la comunidad matemática.<ref>Letter from M. J. M. Hill to a C. L. T. Griffith (un ex estudiante envió a Hill la solicitud a favor de Ramanujan), 28 November 1912.</ref> Aunque Hill no se ofreció a tomar a Ramanujan como estudiante, sí le dio asesoramiento profesional completo y formal en su trabajo. Con la ayuda de amigos, Ramanujan redactó cartas dirigidas a los principales matemáticos de la Universidad de Cambridge.<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=106}}</ref>
Los dos primeros profesores, [[H. F. Baker]] y [[E. W. Hobson]], devolvieron los escritos de Ramanujan sin comentarios.<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|pp=170–171}}</ref> El 16 de enero de 1913, Ramanujan escribió a [[G. H. Hardy]]. Viniendo de un matemático desconocido, Hardy pensó en las nueve páginas manuscritas que recibió de Ramanujan como un posible "fraude".<ref>{{Cita libro|año=1966|título=Variety of Men|editorial=[[Charles Scribner]]|páginas=30–31|ubicación=New York|apellido=Snow|nombre=C. P.}}</ref> Reconoció algunas de las fórmulas de Ramanujan, pero otras le "parecían casi imposibles de creer".<ref>{{Cita publicación|fecha=Miércoles, 16 de junio de 1920|título=Obituary, S. Ramanujan|volumen=105|doi=10.1038/105494a0|bibcode=1920Natur.105..494H|página=494|ref=harv|número=7|publicación=Nature|apellido=Hardy|nombre=G. H.|enlaceautor=G. H. Hardy G. H. Hardy}}</ref> Uno de estos teoremas que Hardy encontró casi imposibles de creer estaba en la parte inferior de la página tres (válido para 0 < ''a'' < ''b'' + 1/2):
: <math>\int_0^\infty \cfrac{1+{x}^2/({b+1})^2}{1+{x}^2/({a})^2} \times\cfrac{1+{x}^2/({b+2})^2}{1+{x}^2/({a+1})^2}\times\cdots\;\;dx = \frac{\sqrt \pi}{2} \times\frac{\Gamma(a+\frac{1}{2})\Gamma(b+1)\Gamma(b-a+1)}{\Gamma(a)\Gamma(b+\frac{1}{2})\Gamma(b-a+\frac{1}{2})}.</math>
Hardy también quedó impresionado por algunos de los trabajos de Ramanujan en relación con las series infinitas:
: <math>1 - 5\left(\frac{1}{2}\right)^3 + 9\left(\frac{1\times3}{2\times4}\right)^3 - 13\left(\frac{1\times3\times5}{2\times4\times6}\right)^3 + \cdots = \frac{2}{\pi}</math>
: <math>1 + 9\left(\frac{1}{4}\right)^4 + 17\left(\frac{1\times5}{4\times8}\right)^4 + 25\left(\frac{1\times5\times9}{4\times8\times12}\right)^4 + \cdots = \frac{2^\frac{3}{2}}{\pi^\frac{1}{2}\Gamma^2\left(\frac{3}{4}\right)}.</math>
El primer resultado ya había sido determinado por un matemático llamado Bauer. El segundo era nuevo para Hardy, y se deriva de una clase de funciones llamadas [[serie hipergeométrica|series hipergeométricas]] que primero habían sido investigadas por [[Leonhard Euler]] y [[Carl Friedrich Gauss]]. En comparación con el trabajo de Ramanujan en [[integral]]es, Hardy encontró estos resultados "mucho más intrigantes".<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=167}}</ref> Después vio los teoremas de Ramanujan en fracciones continuas en la última página de los manuscritos, y comentó que ''"[los teoremas] me derrotaron por completo, yo nunca había visto antes nada parecido en absoluto"''.<ref name="p168">{{Harvnb|Kanigel|1991|p=168}}</ref> Se imaginó que los teoremas de Ramanujan ''"deben ser verdad, porque, si no eran ciertos, nadie tendría la imaginación necesaria para inventárselos"''.<ref name="p168"/> Hardy pidió a un colega, [[John Edensor Littlewood|J. E. Littlewood]], que mirase el manuscrito. Littlewood quedó sorprendido por el genio matemático de Ramanujan. Después de estudiar el escrito con Littlewood, Hardy llegó a la conclusión de que las cartas eran ''"sin duda lo más notable que he recibido"'', y comentaron que Ramanujan era ''"un matemático de la más alta calidad, un hombre de originalidad y capacidad totalmente excepcionales"''.<ref>Hardy (June 1920), pp494–495.</ref> Un colega, [[Eric Harold Neville|E. H. Neville]], posteriormente comentó que ''"ni uno solo de los [teorema]s podría haberse incluido en el examen de matemáticas más avanzado del mundo"''.<ref name="Neville293">{{Cita publicación|fecha=Lunes, 16 de marzo de 1942|título=Srinivasa Ramanujan|volumen=149|doi=10.1038/149292a0|bibcode=1942Natur.149..292N|página=293|ref=harv|número=3776|publicación=Nature|apellido=Neville|nombre=Eric Harold}}</ref>
El 8 de febrero de 1913, Hardy escribió una carta a Ramanujan, expresando su interés por su trabajo. Hardy también añadió que era ''"esencial que yo vea pruebas de algunas de sus afirmaciones"''.<ref>Letter, Hardy to Ramanujan, 8 February 1913.</ref> Antes de que su carta llegase a Madrás durante la tercera semana de febrero, Hardy se puso en contacto con la Oficina de la India para planificar el viaje de Ramanujan a Cambridge. Arthur Davies, Secretario del Comité Asesor para los Estudiantes de la India, se reunió con Ramanujan para organizar su viaje a Inglaterra.<ref>Letter, Ramanujan to Hardy, 22 January 1914.</ref> Sin embargo, de acuerdo con su educación brahmán, Ramanujan se negó en principio a salir de su país para "ir a un país extranjero".<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=185}}</ref> Mientras tanto, Ramanujan envió una nueva carta a Hardy con teoremas, en la que le decía que ''"He encontrado un amigo en ti que ve mi trabajo con simpatía."''<ref>Letter, Ramanujan to Hardy, 27 February 1913, [[Cambridge University Library]].</ref>
Para complementar el respaldo de Hardy, un ex profesor de matemáticas en el [[Trinity College (Cambridge)|Trinity College de Cambridge]], [[Gilbert Walker]], pudo ver el trabajo de Ramanujan y expresó su asombro, instándolo a pasar un tiempo en Cambridge.<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=175}}</ref> Como resultado de la aprobación de Walker, B. Hanumantha Rao, profesor de matemáticas en una universidad de ingeniería, invitó a Narayana Iyer a una reunión de la Junta de Estudios de Matemáticas para discutir "lo que podemos hacer por S. Ramanujan".<ref>{{Cita libro|año=1972|título=Srinivasa Ramanujan|editorial=National Book Trust|página=29|ubicación=New Delhi|apellido=Ram|nombre=Suresh}}</ref> La junta acordó conceder a Ramanujan una beca de investigación de 75 rupias por mes durante los siguientes dos años en la Universidad de Madrás.<ref>{{Harvnb|Ranganathan|1967|pp=30–31}}</ref> Mientras estuvo contratado como estudiante de investigación, Ramanujan continuó presentando trabajos a la ''Revista de la Sociedad Matemática de la India''. En un caso, Narayana Iyer presentó algunos teoremas de Ramanujan relativos a la suma de una serie a la revista, añadiendo que ''"El siguiente teorema se debe a S. Ramanujan, estudiante de matemáticas de la Universidad de Madrás"''. Más tarde, en noviembre, el profesor británico Edward B. Ross del ''Christian College'' de Madrás, a quien Ramanujan había conocido unos años antes, irrumpió en su clase un día con sus ojos brillantes, preguntando a sus estudiantes ''"¿Sabe Ramanujan polaco?"'' La razón era que en un artículo, Ramanujan había anticipado el trabajo de un matemático polaco cuya ponencia acababa de llegar en el correo del día.<ref>{{Harvnb|Ranganathan|1967|p=12}}</ref> En sus trabajos trimestrales, Ramanujan elaboró teoremas para resolver integrales definidas con mayor facilidad. Trabajó sobre el teorema integral de Giuliano Frullani publicado en 1821, formulando generalizaciones que se podían hacer para evaluar integrales anteriormente inabordables.<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=183}}</ref>
La correspondencia de Hardy con Ramanujan se agrió después de que Ramanujan se negase a viajar a Inglaterra. Hardy encargó a un colega que estaba dando conferencias en Madrás, E.H. Neville, que convenciese a Ramanujan para ir a Inglaterra.<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=184}}</ref> Neville preguntó a Ramanujan que por qué no quería ir a Cambridge. Al parecer, Ramanujan ahora había aceptado la propuesta; como Neville dijo, ''"Ramanujan no necesitaba ser convencido, y la oposición de sus padres había sido retirada"''.<ref name="Neville293"/> Al parecer, la madre de Ramanujan tuvo un sueño vívido en el que la diosa de la familia, ''Namagiri Thayar'', le ordenó que ''"no prolongase más tiempo la separación entre su hijo y el cumplimiento del propósito de su vida"''.<ref name="Neville293"/> Ramanujan se embarcó por fin hacia Inglaterra, dejando a su esposa con sus padres en la India.
=== Estancia en Inglaterra ===
[[Archivo:RamanujanCambridge.jpg|miniatura|derecha|Ramanujan (centro) con otros científicos en el Trinity College]]
[[Archivo:Whewell's Court, Trinity College, Cambridge.jpg|miniatura|derecha|Whewell's Court, [[Trinity College (Cambridge)|Trinity College]], Cambridge]]
Ramanujan embarcó en el SS ''Nevasa'' el 17 de marzo de 1914. A las 10 de la mañana, el barco partió de Madrás.<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=196}}</ref> Llegó a Londres el 14 de abril, con EH Neville esperándole con un coche. Cuatro días después, Neville lo llevó a su casa en Chesterton Road, en Cambridge. Ramanujan comenzó inmediatamente su trabajo con Littlewood y Hardy. Después de seis semanas, se mudó de la casa de Neville y fijó su residencia en Whewell Court, a solo cinco minutos a pie de la habitación de Hardy.<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|p=202}}</ref> Hardy y Littlewood comenzaron a echar un vistazo a los cuadernos de Ramanujan. El propio Hardy ya había recibido 120 teoremas de Ramanujan en las dos primeras cartas, pero había muchos más resultados y teoremas en los cuadernos. Vio que algunos estaban equivocados, otros ya habían sido descubiertos, pero el resto eran nuevas ideas originales.<ref>{{Cita libro|año=1940|título=Ramanujan|editorial=[[Cambridge University Press]]|página=10|ubicación=Cambridge|apellido=Hardy|nombre=G. H.}}</ref> Ramanujan causó una profunda impresión en Hardy y en Littlewood, quien comentó: ''"Creo que es al menos un nuevo [[Carl Gustav Jacob Jacobi|Jacobi]]"'',<ref>Letter, Littlewood to Hardy, early March 1913.</ref> mientras Hardy dijo que ''"Se le puede comparar únicamente con [Leonhard] Euler o Jacobi."''<ref>{{Cita libro|año=1979|título=Collected Papers of G. H. Hardy|sinpp=true|editorial=[[Oxford University Press|Clarendon Press]]|páginas=Vol. 7, p720|ubicación=Oxford, England|apellido=Hardy|nombre=G. H.}}</ref>
Ramanujan pasó casi cinco años en Cambridge colaborando con Hardy y Littlewood, y publicó una parte de sus hallazgos allí. Hardy y Ramanujan tenían personalidades totalmente contrapuestas. Su colaboración fue un choque de diferentes culturas, creencias y estilos de trabajo. Hardy era ateo y un apóstol de la prueba y el rigor matemático, mientras que Ramanujan era un hombre profundamente religioso y se apoyaba fuertemente en su intuición. Mientras que Ramanujan permaneció en Inglaterra, Hardy hizo todo lo posible para llenar las lagunas en la educación de su colega sin interrumpir su hechizo de inspiración.
Ramanujan fue galardonado con una licenciatura en Ciencias (este grado fue más tarde renombrado PhD) en marzo de 1916 por su trabajo de investigación en [[número altamente compuesto|números altamente compuestos]], la primera parte de la cual fue publicada como un documento en las ''Actas de la [[London Mathematical Society]]''. El artículo tenía más de 50 páginas con la demostración de diferentes propiedades de tales números pero debido a una escasez de papel ocasionada por la [[Primera Guerra Mundial]] no se terminó de publicar sino hasta 1997 en "[[The Ramanujan Journal]]". <ref>{{cita web |url= https://arxiv.org/pdf/1211.6944.pdf |título= RAMANUJAN, ROBIN, HIGHLY COMPOSITE NUMBERS, AND THE RIEMANN HYPOTHESIS |fechaacceso= 22 de diciembre de 2017 |apellido= Nicolas |nombre= Jean-Louis |fecha = 2 de diciembre de 2013 |sitioweb= [[Universidad Cornell#Biblioteca|Cornell University]] Library. |idioma = inglés |cita = Ramanujan had a very long manuscript on highly composite numbers but some of it was not published due to a paper shortage during the First World War. |formato = pdf |urlarchivo= https://web.archive.org/web/20171222202624/https://arxiv.org/pdf/1211.6944.pdf |fechaarchivo= 22 de diciembre de 2017 }}</ref> Hardy comentó que Ramanujan mostró un extraordinario ingenio en su manejo pero a pesar de ello no hizo que esta área de conocimientos fuera algo interesante, en su opinión.<ref>{{cita web |url= https://arxiv.org/pdf/1211.6944.pdf |título= RAMANUJAN, ROBIN, HIGHLY COMPOSITE NUMBERS, AND THE RIEMANN HYPOTHESIS |fechaacceso= 22 de diciembre de 2017 |apellido= Nicolas |nombre= Jean-Louis |fecha = 2 de diciembre de 2013 |sitioweb= [[Universidad Cornell#Biblioteca|Cornell University]] Library. |idioma = inglés |cita = Hardy told me, “Even Ramanujan could not make highly composite numbers interesting.” |formato = pdf |urlarchivo= https://web.archive.org/web/20171222202624/https://arxiv.org/pdf/1211.6944.pdf |fechaarchivo= 22 de diciembre de 2017 }}</ref>
El 6 de diciembre de 1917, fue elegido miembro de la Sociedad Matemática de Londres. Fue nombrado miembro de la [[Royal Society]] en 1918, convirtiéndose en el segundo indio en conseguirlo, tras [[Ardaseer Cursetjee]] en 1841, a los 31 años, siendo uno de los estudiosos más jóvenes en la historia de la Royal Society. Resultó elegido ''"por su investigación en [[función elíptica|Funciones Elípticas]] y en la Teoría de Números."'' El 13 de octubre de 1918, se convirtió en el primer indio elegido miembro del Trinity College.<ref>{{Harvnb|Kanigel|1991|pp=299–300}}</ref>
=== Enfermedad y muerte ===
Plagado de problemas de salud durante toda su vida, viviendo en un país lejos de su hogar y obsesivamente involucrado con sus matemáticas, la salud de Ramanujan empeoró en Inglaterra, tal vez exacerbada por el estrés y por la escasez de su dieta vegetariana durante la Primera Guerra Mundial. Fue diagnosticado de [[tuberculosis]] y de una deficiencia vitamínica grave, y fue internado en un sanatorio.
Ramanujan volvió a Kumbakonam en 1919 y murió poco después a la edad de 32 años, en 1920. Su viuda, S. Janaki Ammal, se trasladó a Bombay, pero volvió a Chennai (antes Madrás) en 1950, donde vivió hasta su muerte a los 95 años, en 1994.<ref name="Janaki"/>
Un análisis de la historia clínica de Ramanujan y sus síntomas elaborado en 1994 por el doctor D.A.B Young llegó a la conclusión de que era mucho más probable que tuviese [[amebiasis]] hepática, una infección parasitaria del hígado generalizada en Madrás, donde Ramanujan había pasado gran parte de su vida. Tuvo dos episodios de [[disentería]] antes de abandonar la India. Cuando no se trata adecuadamente, la disentería puede permanecer latente por años y dar lugar a la amebiasis hepática,<ref name="lostnotebook">{{Cita web|título=Raiders of the Lost Notebook|url=http://www.las.illinois.edu/alumni/magazine/articles/2006/lostnotebook/|fechaacceso=11 de enero de 2014|editorial=[[UIUC College of Liberal Arts and Sciences]]|apellido=Peterson|nombre=Doug}}</ref> una enfermedad difícil de diagnosticar, pero fácilmente curable una vez que se diagnostica.
== Personalidad y vida espiritual ==
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