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Línea 17: ==Explicación matemática== La magnitud aparente en la banda <math>x</math> se puede definir como: :<math>m_x = -2.,5 \log_{10} (I_x) + C</math> donde <math>I_x</math> es el [[flujo luminoso]] observado en la banda <math>x</math>, y <math>C</math> es una constante que depende de las unidades de flujo y de la banda. Línea 41: :<math>\log 100 = 2</math> luego: :<math>\log k = 2/5 = 0.,4</math> :<math>k = antilog \, 0.,4</math> y por tanto :<math>k = 2.,511886</math> que sustituido en :<math>I_1 /I_2 = k</math> nos dice que la relación entre intensidades luminosas de dos estrellas que difieren en una magnitud, es igual a <math>2.,511886</math> y en general, para una diferencia de magnitudes :<math>m_2 - m_1</math> se tiene: Línea 55: :<math>I_2 m_2</math>: brillo y magnitud de otra de brillo inferior Entonces queda: :<math>I_1 / I_2 = 2.,511886^{(m_2 - m_1)}</math> '''[1]''' Como es de suponer, la relación de intensidades se mantiene constante sean cuales sean las unidades en que se mida. Esto permite elegir a conveniencia. No obstante, y por comodidad de cálculo se va a mejorar la presentación de la ecuación tomando logaritmos en ambos miembros: :<math>\log (I_1 / I_2) = (m_2 - m_1) \cdot \log 2.,511886</math> pero :<math>\log 2.511886 = 0.,4</math> :<math>\log I_1 - \log I_2 = 0.4 \cdot (m_2 - m_1)</math> '''[2]''' Y esta nueva expresión constituye la ley de Pogson que dice "la diferencia de magnitud entre dos estrellas es proporcional a la diferencia de los logaritmos de sus brillos aparentes". Se compara ahora una estrella de 6º magnitud con otra cualquiera de magnitud <math>m</math> y brillo <math>B</math> :<math>\log B - \log 1 = 0.,4 \cdot (6-m)</math> :<math>\log B = 2.,4 - 0.,4 \cdot m </math> '''[3]''' Luego dada la magnitud de una estrella se puede conocer su brillo <math>B</math> mediante esta última expresión, o <math>m</math>: :<math>m = (2.,4 - \log B) / 0.,4</math> '''[4]''' Estas dos fórmulas sirven para conocer la magnitud conjunta de dos o más estrellas. Si además de conocer la magnitud de una estrella, se conoce la distancia que nos separa de ella, se está en condiciones de averiguar la magnitud y brillo que presentaría a otra distancia. Esto es posible gracias a que el brillo es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, o sea: Línea 73: Si se conoce la magnitud absoluta, que llamamos <math>M</math>, y su distancia <math>d</math>, podemos deducir que magnitud aparente <math>m</math>, tendrá esa estrella. Se recuerdan las expresiones :<math>\log (B_1 / B_2) = (m_2 - m_1) \cdot 0.,4</math> y :<math>{d^2}_2 / {d^2}_1 = B_1 / B_2</math> si se sustituye en la primera relación de los brillos por la del cuadrado de las distancias :<math>\log ({d^2}_2 / {d^2}_1 ) = (m_2 - m_1) \cdot 0.,4</math> Con el subíndice 2 se indica a una estrella situada a 10 parsec cuya magnitud <math>m_2</math> será la absoluta (<math>M</math>), como se ha visto anteriormente: :<math>\log (10^2 /d^2) = (M-m) \cdot 0.,4</math> Tomando logaritmos, :<math>2 \cdot \log 10-2 \cdot \log d = 0.,4 \cdot M - 0.,4 \cdot m</math> :<math>2 - 2 \cdot \log d = 0.,4 M - 0.,4 \cdot m</math> multiplicando ambos miembros por 2,5 resulta: :<math>5 - 5 \cdot \log d = M - m</math> Línea 93: ==Ejemplos== "Calcular la magnitud conjunta del sistema 47 Tauri, cuyas dos componentes son de <math>m_1 = 4.,9</math> y <math>m_2 = 7.,4</math>" Se calculan sus brillos por '''[3]''' y se suman: <math>I_2/I_3 = k</math>, de donde <math>I_2 = k \cdot I_3</math> :<math>\log B_1 = 2.,4 - 0.,4 \cdot 4.,9 = 0.,44 \Rightarrow B = 2.,7542</math> :<math>\log B_2 = 2.,4 - 0.,4 \cdot 7.,4 = -0.,56 \Rightarrow B = 0.,2754</math> luego <math>B_{total} = 3.0296</math>, y por '''[4]''' se halla la magnitud conjunta de las dos estrellas: :<math>m = (2.,4 - \log B)/0.,4 = (2.,4 - 0.,48)/0.,4 = 4.,8</math> En un catálogo, se encuentra con magnitud '''4,84'''. "El [[Sol]] dista de nosotros 149 597 870 [[km]], y tiene una magnitud de -26,75. Calculemos la que nos presentaría a 100 veces esa distancia". Por la '''[3]''' hallamos su brillo que es <math>1.,2589 \cdot 10^{13}</math> y por '''[5]''' :<math>B_2 = (149597870)^2 \cdot 1.,2589 \cdot 10^{13}/ (1.,4959787 \cdot 10^{10})^2</math> luego <math>B_2 = 1258925412</math>, es decir 10 000 veces menor, y por '''[4]''' <math>m = - 16.,75</math>, diez magnitudes menor. Por '''[1]''' podemos averiguar las veces que nuestro Sol al desplazarse 100 veces la distancia que nos separa de él, es menor en brillo: :<math>I_1 / I_2 = 2.,511886^{(-16.,75-(-26.,75))} = 2.,511886^{10} = 9999.,982821</math> veces menor. Y ya que hemos obtenido la magnitud conjunta de la estrella 47 Tauri, encontrándola igual a 4,8, calculemos su [[magnitud absoluta]], sabiendo que su [[paralaje]] <math> \pi = 0</math>'''"'''<math>0123</math>. Como en '''[7]''' nos pide el <math>\log d</math> y aquí nos dan la paralaje, vamos hacer una pequeña transformación en '''[7]''' para utilizar el dato suministrado. Como <math>\pi = 1/d</math>, luego <math>d = 1/ \pi</math>, que puesto en '''[7]''' Línea 115: :<math>M = m + 5 + 5 \cdot log \pi </math> que es otra forma de obtener la [[magnitud absoluta]], cuando conocemos la [[paralaje]]. :<math>M = 4.,8 + 5 + 5 \cdot log 0</math>'''"'''<math>0123 = 9.,8 + 5 \cdot -1.,91 = 9.,8 -9.,55 = 0.,25</math> En el catálogo figura con magnitud absoluta de +0,3 y por último para comprobar, por '''[8]''' :<math>\log d = (m - M)/5 + 1 = (4.,8 - 0.,25)/5 + 1 = 1.,91</math> luego :<math>d = {antilog} \; 1.,91 = 81.,3 \; {parsec}</math> == Escala de magnitudes aparentes ==

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