Diferencia entre revisiones de «Espacio métrico»
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En [[matemática]], un '''espacio métrico''' es un conjunto que lleva asociada una [[distancia|función distancia]], es decir, que esta función está definida sobre dicho conjunto, cumpliendo propiedades atribuidas a la distancia, de modo que para cualquier par de puntos del conjunto, estos están a una cierta distancia asignada por dicha función.
En particular, cualquier espacio métrico será, además, un [[espacio topológico]] porque cualquier función de distancia definida sobre un conjunto dado induce una topología sobre dicho conjunto. Se trata de la topología inducida por las [[Bola (matemática)|bolas abiertas]] asociadas a la función distancia del espacio métrico.
== Definiciones ==
=== Definición de espacio métrico ===
Formalmente, un espacio métrico es un [[conjunto]] <math>M</math> (a cuyos elementos se les denomina ''puntos'') con una función [[distancia]] asociada (también llamada una '''métrica''')
<math>d:M\times M\rightarrow\mathbb R</math> (donde <math>\mathbb R</math> es el [[conjunto]] de los [[Número real|números reales]]). Decir <math>d</math> es una distancia sobre <math>M</math> es decir que para todo <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> en <math>M</math>, esta función debe satisfacer las siguientes condiciones o propiedades de una distancia:
# <math>d(x,y) = 0\Leftrightarrow x = y</math>
# <math>d(x,y) = d(y,x)\,</math> (simetría)
# <math>d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)\,</math> ([[desigualdad triangular]]).
De estos también se deduce:
{{ecuación|
<math>d(x,y) \geq 0</math> (positividad)
||left}}
=== Algunas definiciones asociadas a un espacio métrico===
Sea <math>(M, d) \!</math> un espacio métrico, y sean <math>a \in M \!</math> y <math>r \in \mathbb R^+ \cup \{0\} \!</math> un punto de <math>M\!</math> y un número real positivo o cero, respectivamente:
* Se llama '''bola''' (abierta) ''centrada'' en <math>a</math> y de ''radio'' <math>r</math>, al subconjunto de <math>M\!</math>: <math>\{x\in M | d(x,a)<r\}</math>, denotado usualmente como <math>B(a,r)</math>, o como <math>B_r(a)</math>.
* Se llama '''bola cerrada''' ''centrada'' en <math>a</math> y de ''radio'' <math>r</math>, al subconjunto de <math>M\!</math>: <math>\{x\in M | d(x,a)\leq r\}</math>, denotado usualmente como <math>B_c(a,r)</math> o como <math>\overline{B}(a,r)</math> o también como <math>\overline{B}_r(a)</math>.
* En [[análisis funcional]] la terminología puede llevar un poco a confusión, pues a la bola abierta de radio <math>r\,\!</math> y centro <math>a\,\!</math> se la suele denotar por <math>U(a,r)\,\!</math> o por <math>U_r(a)\,\!</math>, mientras -y aquí viene la posible confusión- a la bola cerrada de centro <math>a\,\!</math> y radio <math>r\,\!</math> se la denota por <math>B(a,r)\,\!</math> o por <math>B_r(a)\,\!</math>.
* Algunos autores utilizan la expresión '''disco''' en lugar de bola, así es que se puede hablar en términos de '''disco abierto''' y '''disco cerrado'''. En particular, esta terminología se utiliza en [[Análisis complejo|Variable Compleja]], y cuando se considera la distancia euclídea sobre el conjunto <math>\mathbb{R}^2</math>.
* Se llama '''esfera''' ''centrada'' en <math>a</math> y de ''radio'' <math>r</math>, al subconjunto de <math>M\!</math>: <math>\{x\in M | d(x,a)=r\}\!</math>, denotado usualmente como <math>S(a,r)</math>, o como <math>S_r(a)</math>.
== Topología de un espacio métrico ==
La distancia <math>d</math> del espacio métrico induce en <math>M</math> una [[topología]], y por tanto el espacio es, a su vez, un [[espacio topológico]] al tomar como subconjuntos abiertos para la topología a todos los subconjuntos <math>U</math> que cumplen
:<math>(\forall u \in U) (\exists \varepsilon \in \mathbb{R}^+ | B(u,\varepsilon)\subset U)</math>.
Esto es a todos los subconjuntos <math>U</math> para los cuales cualquier punto en <math>U</math> es el centro de alguna bola de radio positivo totalmente incluida en <math>U</math>, o lo que es lo mismo: U no tiene puntos en la frontera; no tiene frontera.
Dicha topología se denomina '''topología inducida por <math>d</math> en <math>M</math>'''.
Podemos entonces interpretar intuitivamente que un conjunto abierto es entonces una parte que tiene un cierto "espesor" alrededor de cada uno de sus puntos.
Un subespacio métrico <math>(E,d)\,</math> de un espacio métrico <math>(M,d)\,</math> es [[subespacio (topología)|subespacio topológico]] del espacio topológico <math>(M,T)\,</math>, donde <math>T\,</math> es la topología en <math>M\,</math> inducida por <math>d</math>. Es decir, <math>E\,</math> hereda de <math>M\,</math> la topología inducida por <math>d</math>.
Un entorno <math>V</math> de un punto <math>a</math> de un espacio métrico <math>M</math> no es más que un subconjunto <math>V \subset M</math> de forma que exista un <math>r>0</math> tal que la '''bola abierta''' <math>B(a,r) \subset V</math>. El conjunto <math>\{B(a,r): a \in M, r \in \mathbb{R}, r>0 \}</math> es [[base (topología)|base]] de la topología inducida por <math>d</math>, y también es base de entornos de dicha topología. Como <math>\mathbb{Q}</math> es denso en <math>\mathbb{R}</math>, resulta entonces que <math>\{B(a,r): a \in M, r>0, r \in \mathbb{Q}\}</math> también es base de entornos de la topología inducida por <math>d</math>. En consecuencia, todo espacio métrico cumple el [[Primer Axioma de Numerabilidad]].
Todo espacio métrico es [[espacio de Hausdorff]]. Además, al igual que ocurre en espacios pseudométricos, para los espacios métricos son equivalentes las siguientes propiedades: ser [[espacio de Lindelöf]], cumplir el [[Primer Axioma de Numerabilidad]] y ser [[espacio separable|separable]].
== Sistemas axiomáticos alternativos ==
La propiedad 1 (<math>d(x,y) \geq 0</math>) se sigue de la 4 y la 5.
Algunos autores usan la [[recta real extendida]] y admiten que la distancia tome el valor <math>\infin</math>. Cualquier métrica tal puede ser reescalada a una métrica finita (usando <math>d'(x,y) = d(x,y) / (1 + d(x,y))</math> o <math>d''(x,y) = \min(1, d(x,y))</math>) y los dos conceptos de espacio métrico son equivalentes en lo que a [[topología]] se refiere. Una métrica es llamada [[ultramétrica]] si satisface la siguiente versión, más fuerte, de la ''[[desigualdad triangular]]'':
:<math>\forall x,y,z\in M, d(x,z) \leq \mbox{max}(d(x,y),d(y,z))</math>.
Si se elimina la propiedad 3, se obtiene un [[espacio pseudométrico]]. Sacando, en cambio, la propiedad 4, se obtiene un [[espacio quasimétrico]].
No obstante, perdiéndose simetría en este caso, se cambia, usualmente, la propiedad 3 tal que ambas <math>d(x,y) = 0</math> y <math>d(y,x) = 0</math> son necesarias para que <math>x</math> e <math>y</math> se identifiquen. Todas las combinaciones de lo anterior son posibles y referidas por sus nomenclaturas respectivas (por ejemplo como ''quasi-pseudo-ultramétrico'').
== Espacio métrico totalmente acotado ==
Un espacio métrico <math>(X,d)</math> se dirá '''totalmente acotado''' si y solamente si cumple la siguiente propiedad:
<math>\forall r>0, \exists x_1,...x_k \in X </math> tal que <math> \cup_{i=1}^k B(x_i,r) \supseteq X </math>
Se cumple que todo espacio totalmente acotado es también acotado. Además, todo [[espacio compacto|compacto]] es totalmente acotado. Esta propiedad es útil precisamente para demostrar compacidad, pues se tiene que existe equivalencia entre ser compacto y ser totalmente acotado y [[Completitud|completo]]. De hecho, para muchas demostraciones es precisamente esta caracterización de compacidad la que se utiliza.
== Ejemplos ==
* Sea X un conjunto cualquiera no vacío y definamos ''d''
<center><math>d(x,y) = \begin{cases} 0 & \mbox{si }x=y \\ 1 & \mbox{si }x \ne y \end{cases}</math></center>
Entonces ''d'' es una métrica en X, llamada '''métrica discreta''' y (X,d) es espacio métrico; (X, d) se llama espacio ''' discreto'''; ver Análisis real de Haaser y Sullivan.
* Los [[número real|números reales]] con la función distancia ''d''(''x'', ''y'') = |''y'' - ''x''| dada por el [[valor absoluto]], y más generalmente [[Espacio Euclídeo|''n''-espacio euclídeo]] con la [[distancia euclidiana]], son espacios métricos completos. El sistema de los números complejos '''C''' es un espacio métrico . C como espacio métrico es igual a RxR.
* Más generalmente aún, cualquier [[espacio vectorial normado]] es un espacio métrico definiendo ''d''(''x'', ''y'') = ||''y'' - ''x''||. Si tal espacio es completo, lo llamamos [[espacio de Banach]].
* Si ''X'' es un conjunto y ''M'' es un espacio métrico, entonces el conjunto de todas las funciones acotadas ''f'' : ''X'' <tt>-></tt> ''M'' (i.e. aquellas funciones cuya imagen es un subconjunto acotado de ''M'') puede ser convertido en un espacio métrico definiendo ''d''(''f'', ''g'') = sup<sub>''x'' en ''X''</sub> ''d''(''f''(''x''), ''g''(''x'')) para cualesquiera funciones acotadas ''f'' y ''g''. Si ''M'' es completo, entonces este espacio es completo también.
* Si ''X'' es un [[espacio topológico]] y ''M'' es un espacio métrico, entonces el conjunto de todas las funciones [[función continua|continuas]] acotadas de ''X'' a ''M'' forma un espacio métrico si definimos la métrica como antes: ''d''(''f'', ''g'') = sup<sub>''x'' en ''X''</sub> ''d''(''f''(''x''), ''g''(''x'')) para cualesquiera funciones continuas acotadas ''f'' y ''g''. Si ''M'' es completo, entonces este espacio es completo también.
* Si ''M'' es un espacio métrico, podemos convertir al conjunto ''K''(''M'') de todos los subconjuntos compactos de ''M'' en un espacio métrico definiendo [[distancia de Hausdorff]] ''d''(''X'', ''Y'') = inf{''r'': para cada ''x'' en ''X'' existe un ''y'' en ''Y'' con ''d''(''x'', ''y'') < ''r'' y para cada ''y'' en ''Y'' existe un ''x'' en ''X'' con ''d''(''x'', ''y'') < ''r''). En este métrica, dos elementos están cerca uno de otro si cada elemento de un conjunto está cerca de un cierto elemento del otro conjunto. Se puede demostrar que ''K''(''M'') es completo si ''M'' es completo.
== Un análisis lógico ==
* El concepto métrico fundamental es el de [[función corta]], los ''morfismos'' de la [[Teoría de las categorías|categoría]] métrica (los isomorfismos, i.e. aplicaciones bi-cortas, son las [[isometría]]s), '''pero''' su expresión usual usa el orden y la suma en los reales positivos luego,
* 1) Es obvio que : | ''x'' - |''x'' - ''y'' | | = ''y'' es lo mismo que ''x'' = 0 o ''y'' ≤ ''x'', luego distancia en los reales positivos da orden ''débil'' allí, orden ''fuerte'' (''y'' ≤ ''x'' ssi ... ) es difícil, pero posible, si se acepta una solución de |''x'' - ''y'' | = ''y'' i.e. ''y'' = ''x'' / 2.
* 2) | ''d''(''y'', ''z'') - |''d''(''y'', ''z'') - ''d´''(''f''(''y''), ''f''(''z'')) | | = ''d´''(''f''(''y''), ''f''(''z'')) expresa que f es una [[función corta]], sin '''ninguna referencia''' a un '''orden''' en los reales positivos.
* 3) La siguiente equivalencia de la [[desigualdad triangular]]
: | ''d''(''x'', ''y'') - ''d''(''x'', ''z'') | ≤ ''d''(''y'', ''z'')
expresa (sin '''ninguna referencia''' a una '''operación''' en los reales positivos, |''x'' - ''y''| es la distancia allí) el hecho que ''d''(''x'', ''-'') es [[función corta]] (luego uniforme, luego continua). d: ''x'' - > ''d''(''x'',''-'') es una isometría.
* Reuniendo ambas : | ''d''(''y'', ''z'') - |''d''(''y'', ''z'') - | ''d''(''x'', ''y'') - ''d''(''x'', ''z'') | | | = | ''d''(''x'', ''y'') - ''d''(''x'', ''z'') | expresa [[desigualdad triangular]] directamente.
* un leve cambio : | ''d''(''y'', ''z'') - |'''d'''('''z''', '''y''') - | ''d''(''x'', ''y'') - ''d''(''x'', ''z'') | | | = | ''d''(''x'', ''y'') - ''d''(''x'', ''z'') | expresa [[desigualdad triangular]] y '''simetría''' (hacer z = x y usar | ''x'' - ''d''(''y'', ''y'')| = ''x'').
== Espacios metrizables ==
Un espacio topológico <math>(X,T)</math> se dice que es metrizable cuando existe una distancia <math>d</math> cuya topología inducida sea precisamente la topología <math>T</math>.
Un problema fundamental en Topología es determinar si un espacio topológico dado es o no metrizable. Existen diversos resultados al respecto.
=== Teorema de metrización de Urysohn ===
Todo [[espacio regular|espacio topológico regular]] que cumpla el [[segundo axioma de numerabilidad]] es metrizable.
=== Teorema de metrización de Nagata-Smirnov (condición suficiente) ===
Todo espacio regular con una base numerable localmente finita es metrizable.
=== Teorema de metrización de Nagata-Smirnov (condición necesaria) ===
Todo espacio metrizable tiene una base numerable localmente finita.
=== Teorema de metrización de Stone ===
Todo espacio metrizable es paracompacto.
=== Teorema de metrización de Smirnov ===
Un espacio topológico es metrizable [[si y solo si]] es paracompacto y localmente metrizable.
=== Teorema de metrización de espacios completamente separables ===
Un espacio topológico completamente separable es metrizable si y solo si es regular.
== Véase también ==
* [[Topología]]
* [[Desigualdad triangular]]
* [[Lipschitz continua]]
* [[Isometría]], [[contracción (espacio métrico)|contracción]] y [[función corta]]
* [[Recta real extendida]]
* [[Medida de Lebesgue]]
* [[Función distancia con signo]]
* [[Intervalo (matemática)|Intervalo]]
== Referencias ==
{{listaref}}
* Athanase Papadopoulos, ''Metric Spaces, Convexity and Nonpositive Curvature'', [[European Mathematical Society]], 2004, SBN 978-3-03719-010-4
* Espacios Métricos (Wikilibro) [https://es.wikibooks.org/w/index.php?title=Matem%C3%A1ticas_Universitarias/Espacios_M%C3%A9tricos&oldid=314497]
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[[Categoría:Geometría métrica]]
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