Diferencia entre revisiones de «Elasticidad (mecánica de sólidos)»

m
sin resumen de edición
m (Revertidos los cambios de 190.100.45.249 (disc.) a la última edición de Jkbw)
Etiqueta: Reversión
mSin resumen de edición
[[Archivo:VibratingGlassBeam.jpg|thumb|280px|Una varilla elástica vibrando, es un ejemplo de sistema donde la energía potencial elástica se transforma en energía cinética y viceversa aplicada a usos básicos de física.]]
En física el término '''elasticidad''' designa La Materia De La Química materiales de sufrir [[Deformación|deformaciones]] reversibles cuando se encuentran sujetos a la acción de fuerzas exteriores y de recuperar la forma original si estas fuerzas exteriores se eliminan.
 
<math>\sigma_{ij} = \sum_{k,l} C_{ijkl}\varepsilon_{kl} \,</math>
||left}}
Cuando eso sucede se dice que el sólido es elástico lineal. La teoría de la elasticidad lineal es el estudio de sólidos elásticos lineales sometidos a pequeñas deformaciones de tal manera que además los desplazamientos y deformaciones sean "«lineales"», es decir, que las componentes del campo de desplazamientos ''u'' sean muy aproximadamente una combinación lineal de las componentes del [[tensor deformación]] del sólido. En general un sólido elástico lineal sometido a grandes desplazamientos no cumplirá esta condición. Por tanto la teoría de la elasticidad lineal solo es aplicable a:
* '''Sólidos elásticos lineales''', en los que tensiones y deformaciones estén relacionadas linealmente (linealidad material).
* '''Deformaciones pequeñas''', es el caso en que deformaciones y desplazamientos están relacionados linealmente. En este caso puede usarse el [[tensor deformación|tensor deformación lineal de Green-Lagrange]] para representar el estado de deformación de un sólido (linealidad geométrica).
 
=== Tensión ===
[[Archivo:Stress in a continuum.svg|right|280px|thumb|Componentes del [[tensor tensión]] en un punto P de un [[sólido deformable]].]]
La tensión en un punto se define como el límite de la fuerza aplicada sobre una pequeña región sobre un plano π que contenga al punto dividida del área de la región, es decir, la tensión es la fuerza aplicada por unidad de superficie y depende del punto elegido, del estado tensional del sólido y de la orientación del plano escogido para calcular el límite. Puede probarse que la normal al plano escogido ''n''<sub>π</sub> y la tensión ''t''<sub>π</sub> en un punto están relacionadas por:
{{Ecuación|<math> {t_\pi} = {\mathbf{T}(n_\pi)} \,</math>||left}}
\sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz}\\
\sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz}
\end{matrix} \right) = \left(
\begin{matrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz}\\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz}\\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{matrix} \right)</math>
||left}}
Donde la primera matriz es la forma común de escribir el tensor tensión en física y la segunda forma usa las convenciones comunes en ingeniería. Dada una región en forma de [[ortoedro]] con caras paralelas a los ejes coordenados situado en el interior un sólido elástico tensionado las componentes σ<sub>''xx''</sub>, σ<sub>''yy''</sub> y σ<sub>''zz''</sub> dan cuenta de cambios de longitud en las tres direcciones, pero que no distorsinan los ángulos del ortoedro, mientras que las componentes σ<sub>''xy''</sub>, σ<sub>''yz''</sub> y σ<sub>''zx''</sub> están relacionadas con la distorsión angular que convertiría el ortoedro en un paralelepípedo.
\begin{pmatrix}
\varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz} \\
\varepsilon_{yx} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{yz} \\
\varepsilon_{zx} & \varepsilon_{zy} & \varepsilon_{zz}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\varepsilon_{xx} & \frac{1}{2}\gamma_{xy} & \frac{1}{2}\gamma_{xz} \\
\frac{1}{2}\gamma_{yx} & \varepsilon_{yy} & \frac{1}{2}\gamma_{yz} \\
\frac{1}{2}\gamma_{zx} & \frac{1}{2}\gamma_{zy} & \varepsilon_{zz}
\end{pmatrix}
donde ''E'' es el [[módulo de elasticidad|módulo de elasticidad longitudinal]] o módulo de Young y ''G'' el [[módulo de elasticidad transversal]]. Para caracterizar el comportamiento de un sólido elástico lineal e isótropo se requieren además del módulo de Young otra constante elástica, llamada [[coeficiente de Poisson]] (<math> \nu </math>) y el [[coeficiente de temperatura]] (α). Por otro lado, las ecuaciones de [[Gabriel Lamé|Lamé]] para un sólido elástico lineal e [[isotropía|isótropo]] pueden ser deducidas del [[teorema de Rivlin-Ericksen]], que pueden escribirse en la forma:<br />
<br />
:<math>\epsilon_{xx} = \frac{1}{E}\left[ \sigma_{xx} - \nu(\sigma_{yy}+\sigma_{zz}) \right] + \alpha\Delta{T} \qquad \epsilon_{xy} = \frac{(1+\nu)}{E}\sigma_{xy}= \frac{\sigma_{xy}}{2G} </math>
:<math> \epsilon_{yy} = \frac{1}{E}\left[ \sigma_{yy} - \nu(\sigma_{xx}+\sigma_{zz})\right] + \alpha\Delta{T} \qquad \epsilon_{yz} = \frac{(1+\nu)}{E}\sigma_{yz} = \frac{\sigma_{yz}}{2G} </math>
:<math>\epsilon_{zz} = \frac{1}{E}\left[ \sigma_{zz} - \nu(\sigma_{xx}+\sigma_{yy})\right] + \alpha\Delta{T} \qquad \epsilon_{xz} = \frac{(1+\nu)}{E}\sigma_{xz} = \frac{\sigma_{xz}}{2G}</math>
 
== Elasticidad no lineal ==
En principio, el abandono del supuesto de pequeñas deformaciones obliga a usar un [[tensor deformación#Tensores finitos de deformación|tensor deformación no lineal y no infinitesimal]], como en la teoría lineal de la elasticidad donde se usaba el [[tensor deformación]] lineal infinitesimal de Green-Lagrange. Eso complica mucho las '''ecuaciones de compatibilidad'''. Además matemáticamente el problema se complica, porque las ecuaciones resultantes de la anulación de ese supuesto incluyen fenómenos de [[inestabilidad elástica|no linealidad geométrica]] ([[pandeo]], [[abolladura]], ''snap-through'',...).
 
Si además de eso el sólido bajo estudio no es un sólido elástico lineal nos vemos obligados a substituir la '''ecuaciones de Lamé-Hooke''' por otro tipo de [[ecuación constitutiva|ecuaciones constitutivas]] capaces de dar cuenta de la '''no linealidad material'''. Además de las mencionadas existen otras no linealidades en una teoría de la elasticidad para grandes deformaciones. Resumiendo las fuentes de [[no linealidad]] serían:<ref>Philippe C. Ciarlet, ''Mathematical Elasticity'', Vol. 1, pp. 250-251.</ref>
{{Ecuación|<math>\begin{cases}
\mathbf{T_D}: K\subset \R^3\times \R \rightarrow {K'}_t\subset \R^3 & \\
(X,Y,Z;t) \mapsto (x,y,z) & (x,y,z) = T_D(X,Y,Z;t) \end{cases}</math>||left}}
El tensor deformación puede definirse a partir del gradiente de deformación <math>\mathbf{F}</math> que no es otra cosa que la matriz jacobiana de la transformación anterior:
{{Ecuación|<math> \mathbf{F} = \nabla\mathbf{T_D} =
\begin{pmatrix}
\cfrac {\partial x}{\partial X} & \cfrac {\partial x}{\partial Y} & \cfrac {\partial x}{\partial Z} \\
\cfrac {\partial y}{\partial Y} & \cfrac {\partial y}{\partial Y} & \cfrac {\partial y}{\partial Z} \\
\cfrac {\partial z}{\partial Z} & \cfrac {\partial z}{\partial Y} & \cfrac {\partial z}{\partial Z} \end{pmatrix} </math>||left}}
Existen diversas representaciones alternativas según se escojan las coordenadas materiales iniciales sobre el cuerpo sin deformar (''X, Y, Z'') o las coordenadas sobre el cuerpo deformado (''x, y, z''):
2598

ediciones