Diferencia entre revisiones de «Forma cuadrática»
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Una '''forma cuadrática''' o '''forma bilineal simétrica''' es una aplicación matemática que asigna a cada elemento de un [[espacio vectorial]] <math>\scriptstyle x \,</math> un
== Definición formal ==
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:a) Existe una [[forma bilineal]] simétrica <math>\scriptstyle f(\cdot,\cdot) \,</math> de <math>\scriptstyle E \times E \,</math> en el cuerpo <math>\scriptstyle \mathbb{K} \,</math> tal que <math>\scriptstyle \omega(x) = f(x,x) \,</math>. A <math>\scriptstyle f(\cdot,\cdot) \,</math> se le llama forma polar de <math>\scriptstyle \omega \,</math>.
:b) <math>\scriptstyle \omega(lx) = l^{2}\omega(x) \,</math>, <math>\scriptstyle \forall l \in K, \forall x \in E \,</math>. Además <math>\scriptstyle f(x,y) = (\omega(x+y) - \omega(x) - \omega(y)) / 2 \,</math> es una forma bilineal simétrica definida en <math>\scriptstyle E \times E \,</math> y con valores en <math>\scriptstyle \mathbb{K} \,</math>. A <math>\scriptstyle \omega \,</math> se la llama forma cuadrática asociada a <math>\scriptstyle f(\cdot,\cdot) \,</math>.
Una forma cuadrática es por tanto una aplicación <math>\scriptstyle f(x,x)=x^\mathsf{T}\, B\ x \,</math> que
== Equivalencia entre formas cuadráticas y formas bilineales simétricas ==
Es evidente que tanto las formas cuadráticas como las formas bilineales simétricas definen sendos espacios vectoriales (son estables bajo combinaciones lineales con elementos del cuerpo).
Para ver su equivalencia entre las formas cuadráticas y las formas bilineales simétricas, basta encontrar una biyección entre estos dos espacios vectoriales, que no es sino el contenido del apartado b) de la sección anterior.
Sin embargo, no han de confundirse: Las Formas Bilineales son aplicaciones de <math>\scriptstyle VxV-> K\,</math> mientras que las Formas Cuadráticas son aplicaciones de <math>\scriptstyle V-> K\,</math> .
== Signatura ==
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